Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Опыт в бросании игрального кубика повторяется раз. Событие – выпала шестерка. Вероятность этого события , тогда . Из условия задачи . Согласно неравенству или , откуда или . Таким образом, чтобы наивероятнейшее число появлений шестерки равнялось 10, необходимо подбросить игральную кость от 59 до 65 раз.

Пример: В среднем 5% лотерейных билетов является выигрышными. Какова вероятность, что среди купленных 10 билетов окажутся выигрышными а) от двух до четырех; б) не меньше двух; в) наиболее вероятное число выигрышных билетов?

Эксперимент состоит в проверке билета на выигрыш. Это опыт повторяется десять раз ( ). Интересующее нас событие – билет выиграл. Так как выигрышных билетов 5%, то , .

а) Требуется найти вероятность от двух до четырех «успехов» ( ) из . По следствию из теоремы Бернулли . По формуле Бернулли находим

,

,

.

Таким образом, вероятность выигрыша от двух до четырех билетов из десяти купленных составляет или около 9%.

б) Требуется найти вероятность не менее двух «успехов» ( ) из или, что тоже самое, . Так как в промежутке от двух до десяти принимает 8 значений, то выразим вероятность исходного события через вероятность противоположного: . По формуле Бернулли находим

,

.

Окончательно получаем, что вероятность выигрыша не менее чем по двум билетам из десяти составляет .

в) Наивероятнейшее число выигрышных билетов из десяти определим по формуле , откуда или . Единственное целое число из этого промежутка – нуль: . Таким образом, наиболее вероятно, что среди десяти купленных билетов выигрышных вообще не окажется и вероятность этого будет равна или 60%.

Пример: В порту каждые сутки с вероятностью 20% может появиться одно большегрузное судно. Вероятность появления более одного судна в течение суток пренебрежительно мала. Какова вероятность того, что за сентябрь месяц порт посетят не более четырех судов?

Эксперимент заключается в наблюдении за появлением (или непоявлением) судна в порту в течение суток. Это опыт повторяется тридцать раз (в сентябре 30 дней, ). Событие, которое нас интересует в каждом опыте – – судно появилось в порту. Вероятность этого события . Требуется найти вероятность . Считая, что «велико», а «мало», воспользуемся формулой Пуассона.

, .

По таблицам Пуассона , , , , . Тогда искомая вероятность .

Пример: На экономическом факультете вуза обучается 1825 студентов. Какова вероятность, что первое сентября является днем рождения одновременно трех студентов этого факультета?

Испытание состоит в выяснении дня рождения студента. Это испытание повторяется 1825 раз по числу студентов факультета ( ). Пусть – день рождения студента – 1 сентября. Вероятность рождения в определенный день года, в том числе и первого сентября, равна (будем считать год рождения не високосным). Требуется найти вероятность . Очевидно, что достаточно «велико», а «мало», поэтому воспользуемся формулой Пуассона:, . По таблицам Пуассона искомая вероятность

Пример: Вероятность найти белый гриб среди прочих составляет 25%. Какова вероятность того, что среди 80 грибов белых будет двадцать штук?