Решение.
Решение.
Примеры решения ключевых задач.
Практически можно считать, что при значения функции Лапласа .
Практически можно считать, что при значения функции Гаусса .
4. Интегральная приближенная формула Муавра – Лапласа
Теорема.Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие появляется с вероятностью , то для любого промежутка справедливо соотношение:
,
где , , .
Данная формула носит название интегральной формулы Муавра – Лапласа и применяется обычно для .
Функция называется функцией Лапласа. Для упрощения расчетов ее значения табулированы. Для применения таких таблиц нужно знать следующие свойства функции :
ü Функция является нечетной, т.е. .
ü Функция – монотонно возрастающая, причем при .
Приведем ряд следствий интегральной формулы Муавра – Лапласа.
Следствие 1. Вероятность того, что число наступлений некоторого события отличается от произведения не более, чем на величину ,по абсолютному значению, равна
,
где .
Следствие 2. Вероятность того, что относительная частота наступлений некоторого события заключена в промежутке равна
,
где , .
Следствие 3. Вероятность того, что относительная частота наступлений некоторого события отличается от его вероятности не более, чем на величину ,по абсолютному значению, равна
,
где .
Пример: Найти вероятности возможного числа мальчиков в семье имеющей пятерых детей, если рождение мальчика и девочки равновероятны.
Эксперимент заключается в случайном выборе ребенка. Это испытание повторяют пять раз ( ). Пусть интересующее нас событие – выбранный ребенок оказался мальчиком. Из пяти детей число мальчиков может быть равно нулю, одному,…, пяти ( , ,…, ). Так как рождение девочки и мальчика равновероятны, то , . Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:
В случае отсутствия мальчиков среди пяти детей:
;
В случае одного мальчика среди пяти детей:
;
В случае двух мальчиков среди пяти детей:
;
В случае трех мальчиков среди пяти детей:
;
В случае четырех мальчиков среди пяти детей:
;
В случае отсутствия девочек среди пяти детей:
.
Пример: Пусть игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти наивероятнейшее число появлений шестерки и вероятность этого числа.
Опыт состоит в бросании игрального кубика. Это опыт повторяется пятнадцать раз ( ). Интересующее нас событие – выпала шестерка. Очевидно, что , . Из пятнадцати бросков шестерка может появиться от 0 до 15 раз. Наивероятнейшее число появлений шестерки оценим по формуле , откуда или . Единственное целое число из этого промежутка . Таким образом, наиболее вероятно появление шестерок два раза в 15 подбрасываниях игрального кубика. Вероятность этого события определим по формуле Бернулли:
.
Пример: Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений шестерки равнялось 10.