Рассмотрим решение типовых задач.
Свойства нормально распределенной случайной величины
1.Вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону, в промежуток , равна
.
2.Вероятность того, что отклонение случайной величины , распределенной по нормальному закону, от ее математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна
.
3.Практически возможные значения случайной величины , распределенной по нормальному закону, находятся в пределах промежутка, простирающегося вправо на и влево на от математического ожидания . Это свойство нормально распределенной случайной величины носит название «правило трех сигм»
4.Композиция нормальных законов распределения также имеет нормальное распределение.
Так, если и – независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами , и , соответственно, то их сумма, т.е. случайная величина также нормально распределена с параметрами и .
Пример. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 50 и 2, найти: а) выражение плотности вероятности и функции распределения для размеров костюмов; б) доли костюмов 48 – 50 размеров, которые нужно предусмотреть в общем объеме реализации; в) сформулировать правило «трех сигм» для данной случайной величины.
Решение. Случайная величина – размер костюма – имеет нормальное распределение с параметрами и .
а) По определению нормальной случайной величины, плотность распределения , а по теореме о функции распределения – , где – функция Лапласа. Графики этих функций имеют вид
б) Доля костюмов 48 – 50 размеров в общем объеме реализации определится по свойству 1 нормальной случайной величины как вероятность
.
(Значения функции Лапласа определяем по таблицам).
в) Практически достоверно, что размер мужского костюма заключен в границах от до , т.е. . Вероятность этого события, как отмечалось в свойстве 3 нормально распределенной случайной величины, приблизительно равна 0,9973.
Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание т. и средним квадратичным отклонением т. Локомотив может везти состав массой не более 6530 т., в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
Решение. Так как случайная величина – масса вагона поезда – нормально распределена с параметрами и , то по правилу композиции (свойство 4 нормально распределенной случайной величины) масса всего состава тоже будет распределена нормально с параметрами и . Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого не превзойдет 6530 – 6500 = 30 т. Получаем: .
Задача 10.
Решение этой задачи связано с понятием схемы независимых повторяющихся испытаний, формулы Бернулли и рядом асимптотических формул нахождения вероятностей. Основные моменты этой темы представим здесь.
Повторение испытаний. Схема Бернулли
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при одних и тех же условиях, в которых представляет интерес вероятность наступления некоторого события в случаях из испытаний. Обычно число называют числом успехов в испытаниях. Например, необходимо определить вероятность двукратного выпадения решки ( ) при трехкратном подбрасывании монеты ( ).
Если вероятность наступления события в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события . Если независимые повторные испытания проводятся без изменения первоначальных условий, то вероятность наступления события в каждом испытании одна и та же. Описанная модель называется вероятностной схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.
Пусть – вероятность того, что событие наступило ровно раз в испытаниях.
1. Формула Бернулли
Теорема.Вероятность наступления события раз в испытаниях вычисляется по формуле:
,
где .
Данная формула носит название формулы Бернулли. В развернутой форме она имеет вид:
.
Следствие.Если требуется вычислить вероятность наступления некоторого события от до раз в независимых испытаниях, то применяют следующую формулу
.
Число , обладающее, по крайней мере, не меньшей вероятностью среди других событий при любом , называется наивероятнейшим числом наступлений события в независимых испытаниях.
В рассмотренном примере вероятнее всего среди пятерых детей ожидать двух или трех мальчиков.
Теорема.Для определения наивероятнейшего числа наступлений события в независимых испытаниях, в которых наступает с вероятностью , имеет место формула:
.
2. Формула Пуассона
Теорема. При больших и малых справедливо приближенное равенство
,
где .
Данное равенство носит название приближенной формулы Пуассона. Эта формула дает хорошее приближение к точному значению , если .
Значение величин имеются в таблицах
Для вычисления вероятности в случае большого числа испытаний помимо формулы Пуассона используют приближенные формулы Муавра – Лапласа.
3. Локально приближенная формула Муавра – Лапласа
Теорема.При больших справедливо приближенное равенство
,
где , .
Данная формула носит название локальной формулы Муавра – Лапласа. Она дает хорошее приближение при .
Функция , входящая в эту формулу, называется функцией Гаусса. Для упрощения расчетов, связанных с применением этой функции, составлена таблица. Пользуясь этой таблицей, следует иметь в виду следующие свойства функции :
ü Функция является четной, т.е. .
ü Функция – монотонно убывающая при , причем при .