Решение.

Решение.

Решение.

Опыт состоит в проверке случайно выбранного двигателя на дефект. Пусть – двигатель работает без дефектов в течение гарантийного срока. Вероятность этого события будет зависеть от завода-производителя. Обозначим гипотезы , , – проверке подвергается двигатель первого, второго и третьего моторного завода соответственно. По условию задачи, согласно классическому определению вероятности, , , . Вероятность того, что двигатель окажется исправным при условии, что он изготовлен первым заводом (условная вероятность события при первой гипотезе ): (90%), аналогично , .

а) По формуле полной вероятности, безусловная вероятность события : б) Пусть теперь стало известно, что двигатель проработал без дефекта, т.е. событие наступило. Тогда вероятность того, что это двигатель изготовлен на втором заводе (условная вероятность события ), найдем по формуле Байеса:

,

аналогично для третьего завода –

.

Примечание. Так как гипотезы образуют полную группу событий, то

,

,

.

Поэтому в последней задаче вероятность можно найти двумя способами:

 

или

.

Пример: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,6. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что цель поражена первым стрелком; вторым стрелком.

Эксперимент состоит в произведении двух выстрелов по мишени. Пусть – в мишени одна пробоина. Вероятность этого события будет зависеть от следующих гипотез:

– попал первый стрелок, а второй промахнулся, ;

– попал второй стрелок, а первый промахнулся, ;

– оба попали,

– оба промахнулись,

Так как в мишени точно одна пробоина, то условные вероятности события при этих гипотезах: , .

Так как известно, что событие – в мишени одна пробоина – произошло, то искомые вероятности

;

.

Пример: Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае он имеет большую вероятность сдать экзамен: если он идет сдавать первым или вторым?

Эксперимент заключается в случайном выборе экзаменационного билета. Пусть – студент знает ответ на вытянутый билет. Рассмотрим два возможных варианта.

а) Если студент идет отвечать первым, то из 20 имеющихся билетов он знает 15, поэтому вероятность успешной сдачи определяется по классической формуле вероятности и будет равна .

б) Если студент идет отвечать вторым, то вероятность события будет зависеть от того, какой билет вытянули до него. Таким образом, имеется две гипотезы – первый билет был для студента «хорошим» (он мог на него ответить) и – первый билет был для студента «плохим». Вероятности этих гипотез , . Если справедлива гипотеза , то сдавая вторым, студент может выбрать из 19 оставшихся билетов, среди которых только 14 он знает. Условная вероятность события при этой гипотезе равна . Если же первым забрали билет, который студент не знал, то из оставшихся 19 он знает 15, поэтому . По формуле полной вероятности, безусловная вероятность события : .

Таким образом, неважно, первым или вторым по очереди идет сдавать студент – вероятность успешной сдачи в обоих случаях одинакова.

 

Задача 8.

Для решения задачи 8 необходимо рассмотреть тему случайные величины. Основные теоретические данные представим ниже.

 

Дискретные случайные величины

Случайной величиной называется переменная (функция), которая в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, при этом заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины прописными буквами латинского алфавита, а их возможные значения – строчными буквами; например, случайная величина имеет два возможных значения и . Другой пример: случайная величина принимает возможные значения, принадлежащие интервалу . Различают два вида случайных величин.

Случайная величина называется дискретной случайной величиной (ДСВ),если множество ее значений конечно или счетно.

Случайная величина называется непрерывной случайной величиной (НСВ),если множество ее значений заполняет некоторый интервал (конечный или бесконечный).

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения ДСВ является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, т.е.

       
       

События , , …, , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина примет соответственно значения , , …, , являются несовместными и единственно возможными (так как в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице. Таким образом, для любой ДСВ

.

 
 
 
 
 
 
 
 
Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности. Соединение полученных точек образуют ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения.

 

Математические операции над случайными величинами

Рассмотрим две случайные величины и , заданные своими законами распределения:

       
       
       
       

 

 

Две случайные величины и называются независимыми, если события и независимы для всех значений и . В противном случае и называются зависимыми. Независимость случайных величин означает, что

.

Произведением случайной величины на постоянную величину называется случайная величина , принимающие значения с теми же вероятностями , т.е.

 
       
       

Степенью порядка случайной величины называется случайная величина , принимающие значения с теми же вероятностями , т.е.

 
       
       

Суммой (разностью или произведением) случайных величин и называется случайная величина ( или ), которая принимает все возможные значения ( или ) с вероятностями .

Примечание: Если в результате математических действий получаются повторяющиеся значения величины , то вероятности таких значений находятся сложением полученных вероятностей.

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности

.

Если случайная величина принимает счетное множество значений, то математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

Математическое ожидание является аналогом среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

.

3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

4.Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий случайных величин

.

5.Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

.

Дисперсия.

Дисперсией (рассеиванием)случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Для дискретной случайной величины эта формула принимает вид

,

где – математическое ожидание случайной величины . (В случае конечной ДСВ верхний предел суммирования равен , а если случайная величина принимает счетное множество значений, то предел равен ).

Свойства дисперсии

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю

.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

.

3.Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания

.

4.Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий случайных величин

.

Среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии

.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин , , …, равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин

.

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины называется функция , определяющая вероятность того, что примет значение, меньшее :

 

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

 
 
Геометрический смысл приведенного определения заключается в том, что – это вероятность того, что случайная величина примет значение, изображаемое точкой на числовой прямой левее точки .

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:

.

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента .

Свойства функции распределения

1.Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

.

2. – неубывающая функция, т.е. для любых значений , , из того что следует, что .

3.На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице, т.е.

, .

4.Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке , равна приращению функции распределения на этом промежутке

 

 

Непрерывные случайные величины

Приведем более строгое определение данного вида случайных величин.

Случайная величина называется непрерывной случайной величиной (НСВ), если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, за исключением, быть может, отдельных точек.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю

.

Следствие. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток с концами и не зависит от того, открытый или закрытый этот промежуток, т.е.

.

Плотностью вероятности (плотностью распределения) непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения :

.

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией распределения. График плотности вероятности называют кривой распределения. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто случайная величина принимает значения из некоторой окрестности точки при повторении опытов.

Свойства плотности распределения

1.Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е.

.

2.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее промежутку равна определенному интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от до .

.

j(x)
x
a
b
P(a≤X≤b)
Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее отрезку , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой распределения и отрезками прямых и .

3.Функция распределения может быть выражена через плотность распределения по формуле:

.

j(x)
x
F(x)
x
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки .

4.Несобственный интеграл от плотности вероятности по всей числовой прямой равен единице, т.е.

j(x)
x
S=1
.

Геометрически полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называется число, которое находится по формуле

.

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то ее математическое ожидание находится по формуле:

.

При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

.

Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то дисперсия находится по формуле

.

Средним квадратичным отклонениемназывается квадратный корень из дисперсии:

.

Модойслучайной величины называется ее наиболее вероятное (т.е. значение , для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двумодальным или полимодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Медианой случайной величины называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

.

Геометрически вертикальная прямая делит площадь под кривой распределения на две равновеликие (одинаковые по площади) части.

Начальным моментомпорядка случайной величины называется математическое ожидание величины .

.

Для дискретной случайной величины: ; для непрерывной случайной величины: .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

Центральным моментомпорядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Для дискретной случайной величины: ; для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии: , .

j(x)
x
A>0
A<0
Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

j(x)
x
E>0
E=0
E<0
Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии

.

Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом

.