Решение типовых примеров.
Пример. Решить уравнение . Запишем это уравнение через дифференциалы : или .
Разделим обе части последнего уравнения на : .
Переменные разделены. Интегрируем дифференциалы в обеих частях, имея в виду, что : , откуда получаем ¾ общий интеграл для области , не содержащей прямых и . При делении на могли быть потеряны решения , если рассматривать как функцию от и . При проверке (подстановке в уравнение) находим, что есть решение уравнения, а ¾ нет. Заметим, что не входит в семейство функций, описанных общим интегралом, т. к. в этом случае не существует.
Пример. Решить уравнение . Здесь функции и ¾ однородные, первой степени. Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим: или . Решаем это уравнение с разделяющимися переменными: . Возвращаясь к старой переменной , получим . Кроме того, имеется решение , которое было потеряно при делении на .
Пример. Решить уравнение . Запишем это уравнение в виде ¾ линейное уравнение I порядка. Решим его методом Бернулли. Положим , , тогда . Решаем сначала уравнение или . Интегрируя, получим или . Возьмем частное решение и подставим в уравнение или откуда . Итак, .
Пример. Решить уравнение . Запишем уравнение в виде . Решим методом вариации произвольной постоянной (первым способом). или . Чтобы найти функцию , подставим найденное в исходное уравнение: откуда имеем . Окончательно получим .
Пример. Решить уравнение . В это уравнение не входит , следовательно, полагаем Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получим или или . Следовательно, , откуда находим , или .
Задача 5.
Задача 5 – решение линейного неоднородного дифференциальные уравнения второго порядка – основано на следующем материале.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами II порядка
Сначала рассмотрим линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
.
Чтобы его решить, составляют характеристическое уравнение
и находят его корни .
1) Если корни и простые (некратные), то общее решение уравнения записывается в виде
.
2) Если корни кратные, т. е. , то общее решение имеет вид
.
3) Если корни комплексные сопряженные (т. е. числа вида где ), то общее решение будет иметь вид
.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами
определяется теоремой: общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения :
.
Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно частное решение (предполагается, что решение соответствующего однородного уже найдено описанным выше способом). Для этого можно использовать метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов).
Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и специальной правой частью такого вида:
(или сумме функций такого вида). Здесь и многочлены от степени и .
Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
,
где , если число не является корнем характеристического уравнения, и ¾ в противном случае (при ); и ¾ полные многочлены от степени, , т. е. (содержит все степени от 0 до ).При равно кратности корня характеристического уравнения, равного , и , если не есть корень характеристического уравнения. Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов подобных членов в левой и правой частях исходного уравнения после подстановки в него вместо .
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемого вида, то находят частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и в качестве берут их сумму.