Решение ключевого примера.

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Воспользуемся признаком Даламбера: , где .

; .

.

Центр интервала в точке , так как ряд по степеням .

Исследуем ряд на концах интервала.

При получим числовой знакопеременный ряд .

Ряд знакочередующийся, проверим выполнимость условий Лейбница: 1) ; 2) . Оба условия выполнены, значит, ряд сходится.

При получим положительный ряд

Подберем ряд для сравнения: ; ; . По предельному признаку сравнения: , следовательно ряд расходится, так как расходится как общегармонический ряд при .

Следовательно, интервал сходимости степенного ряда .

Задача 4.

Решение задачи 4 основано на материале темы обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка Теоретические основы этой темы перечислим ниже.

Дифференциальные уравнения I порядка

Дифференциальным уравнением (обыкновенным) называется уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. В общем виде дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Следовательно, уравнения I порядка имеют вид или (в разрешенном относительно виде) .

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая на интервале функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на .

Задача, в которой требуется найти решение уравнения , удовлетворяющее условию , называемому начальным условием, называется задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области плоскости называется функция , зависящая от и постоянной из некоторого множества , если: 1) является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной ; 2) для любого начального условия существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения , для области при конкретном значении называется частным решением.

Общее решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме , называется общим интегралом этого уравнения.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений I порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Это дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в виде или в виде равенства дифференциалов: . При такой симметричной записи относительно и иногда удобно рассматривать не как функцию , а как функцию переменной . Называя иногда функцией, именно это имеют в виду.

Для решения последнего уравнения надо обе части уравнения умножить или разделить на такое выражение, чтобы после сокращений в одну часть входило выражение, связанное только с переменной , а в другую ¾ только с , а затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Поэтому такие решения проверяются.

Однородные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией степени , если для всех имеем .

Однородные уравнения могут быть записаны в виде или , где и ¾ однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, делают замену , где ¾ новая неизвестная функция от , после чего получают уравнение с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения I порядка.

Это уравнения вида . Чтобы их решить, сначала решают уравнение (это делается путем разделения переменных) и, в общем решении последнего заменяя произвольную постоянную на неизвестную функцию , получают решение . Затем выражение, полученное для , подставляют в исходное уравнение и находят функцию (так же разделением переменных).

Линейные уравнения I порядка можно решить также методом Бернулли: с помощью подстановки , где и ¾ две неизвестные функции. Исходное уравнение преобразуется к виду . Далее, за принимают любое частное решение уравнения или . После того как найдено, оно подставляется в уравнение (слагаемое в квадратных скобках при этом обращается в 0), откуда находится общее решение , а затем при умножении на и общее решение исходного уравнения.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим два случая: а) в уравнение не входит искомая функция , т. е. оно имеет вид . Тогда порядок понижается, если сделать замену ; б) в уравнение не входит независимая переменная , т. е. оно имеет вид . Тогда порядок понижается, если записать .