Решение типовых примеров.

Пример. Исследовать сходимость ряда . Найдем – необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд Сравним исходный ряд с гармоническим , который расходится. Т.к. , то по первому признаку сравнения, расходится и ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд Сравним этот ряд со сходящимся рядом (убывающая геометрическая прогрессия). Т.к. , то ряд тоже сходится по первому признаку сравнения.

Пример. Определить сходимость ряда . Исследуем его по признаку Даламбера: , следовательно, ряд сходится по предельному признаку Даламбера.

Пример. Определить сходимость ряда . Исследуем по признаку Даламбера: . Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда . Исследуем этот ряд по радикальному признаку Коши: . Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда . Воспользуемся этим же признаком: Т.к. предел равен 1, то признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости: , таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Пример. Определить сходимость ряда . Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл

Таким образом, интеграл расходится, следовательно, исходный ряд так же расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд знакопеременный. Составляем ряд из его модулей: .Применим необходимый признак: ряд расходится. Проверяем условия Лейбница. Условие 2 не выполняется: ряд расходится.

Пример . Исследовать на сходимость ряд .

Ряд знакопеременный. Составим ряд из модулей: . Применим интегральный признак: , следовательно, интеграл расходится, а, значит, и ряд расходится.

Ряд является знакочередующимся. Проверим условия Лейбница: 1) ; 2) . Условия выполняются, следовательно ряд сходится, причем условно.

Задача 3.

Решение задачи 3 базируется на материале темы сходимость степенных рядов. Основные теоретические моменты отразим здесь.

Степенные ряды.

Функциональным рядом называется ряд вида

, (1)

где , , .

Функциональный ряд вида

(2)

называется степенным по степеням .

Тогда ряд вида

– (3)

степенной ряд по степеням .

Ряд (3) может быть получен из ряда (2) заменой .

Множество значений , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Для ряда (3) областью сходимости является интервал, симметричный относительно начала координат (рис. 1). Для ряда (2) область сходимости – интервал, симметричный относительно точки (рис. 2).

-R 0 R x₀-R x₀ x₀+R

Рис.1 Рис. 2

Число R – половина длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда. В частности, если , то степенной ряд (3) сходится только в одной точке , а степенной ряд (2) сходится в точке . При степенной ряд сходится на всей числовой оси. Для отыскания радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши:

; (4)

, (5)

если этот предел (конечный или бесконечный) существует. На концах интервала сходимости степенной ряд может сходиться или расходиться, поэтому нужны дополнительные исследования.