Проиллюстрируем изложенные факты на типовом примере.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x²-xy+2y²+3x+2y+1, в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x+y+5=0 (см. рис.); найти вектор – градиент функции в точке .

1. Находим стационарные точки функции:

, откуда x = -2, y = -1. Итак, имеется стационарная точка (-2;-1).

Определяем значение функции в этой точке:

z(-2,-1) = -3

2. Переходим к исследованию функции на границах области, которая состоит из отрезка оси Ox, отрезка оси Oy и отрезка AB прямой.

a. На оси Ox y = 0, а заданная функция принимает при y = 0 вид: z = x² + 3x + 1, (-5 ≤ x ≤ 0).

Определим точку стационарности полученной функции

2x + 3 = 0, x = -3/2.

Определим значений функции при x = -3/2 и на концах отрезка [-5, 0]: z(-3/2, 0) = -5/4; z(-5, 0) = 11; z(0, 0) = 1. Сравнение показывает, что (z_наиб)_ОА = 11, (z_наим)_ОА = -5/4.

b. На оси Oy x = 0, а заданная функция принимает при x = 0 вид: z = 2y² + 2y + 1, (-5 ≤ y ≤ 0). Определим точку стационарности полученной функции 4y + 2 = 0, y = -1/2. Определим значений функции при y = -1/2 и на концах отрезка [-5, 0]: z(0,-1/2) = 1/2; z(0, -5) = 41; z(0, 0) = 1. Сравнение показывает, что (z_наиб)_ОB = 41, (z_наим)_ОB = 1/2.

c. Исследуем данную функцию на отрезке прямой АВ, принадлежащем границе области. Запишем функцию Лагранжа для отыскания экстремума:

Итак, рассмотрению подлежит точка (надо следить за тем, чтобы исследуемые точки принадлежали рассматриваемой области):

z(-13/4, -7/4) = -5/4; z(-5, 0) = 11; z(0, -5) = 41, (z_наиб)_АB = 41, (z_наим)_АB = -5/4.

3. Сравнивая теперь значение функции z в стационарной точке (-2, -1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ, АВ, видим, что в заданной области z_наиб = z(0, -5) = 41, z_наим = z (-2, -1) = -3.

Таким образом, оказалось, что наименьшего значения функция достигает в стационарной точке (-2, -1), а наибольшего – на границе области, в точке (0, -5).

4. Найдем градиент функции, в точке .

Задача 2.

Решение задачи 2 основывается на материале раздела 8 – Ряды. Основные положения этой темы представим ниже.

Числовые ряды.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

При этом числа будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммамиряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член u_n стремился к нулю.

Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда и при u_n, v_n ³ 0.

Теорема. Если u_n £ v_n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.

Признаки Даламбера.

1. Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие

то ряд расходится.

2. Предельный признак. Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r> 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Признаки Коши.

1. Радикальный признак. Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

Следствие. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.

2. Интегральный признак. Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.

Пример. Ряд сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд называется общегармоническимрядом.

Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Знакопеременные ряды.

Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Признак Лейбница.

Если у знакочередующегося ряда

1. абсолютные величины u_i убывают

2. общий член стремится к нулю ,

то ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.

2. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

3. В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

4. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

5. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

6. Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S×s - произведению сумм перемножаемых рядов.

Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.