Решение типовых примеров.
Замена переменных.
Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).
Тогда если
1) j(a) = а, j(b) = b
2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]
3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то
Тогда
Пример.
Интегрирование по частям.
Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Несобственные интегралы.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].
Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥).
Обозначение:
Если этот предел существуетиконечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и ³ .
Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.
Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл .
В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.
Интеграл от разрывной функции.
Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то
Если интеграл существует, то интеграл - сходится, если интеграл не существует, то - расходится.
Если в точке х = а функция терпит разрыв, то .
Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
Таких точек внутри отрезка может быть несколько.
Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
у
+ +
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула .
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
(ед2)
Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
a. - не существует.
Несобственный интеграл расходится.
b. - интеграл сходится