Перейдем к решению типовых примеров

Производная обратных функций.

Производная показательно- степенной функции.

Производная параметрически заданных функций.

Производная неявной функции.

Производная сложной функции.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Пусть уравнение определяет y как неявную функцию от x. Продифференцировав по x обе части данного уранения, получим уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения легко находится , т.е. производная неявной функции для всех значений x и y, при которых множитель при в уравнении не обращается в нуль.

Пример. Найти производную функции .

Так как y является функцией от x, то будем рассматривать как сложную функцию от x. Следовательно, . Продифференцировав по x обе части данного уравнения, получим , т.е. .

Если функция аргумента x задана параметрическими уравнениями , , то или .

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Производная функции y = u^v вычисляется по формуле:

Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

Производная функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке, вычисляется по формуле:

.

Пример. Найти производную функции .

По правилу производной частного, учитывая, что в числителе – произведение двух функций, получаем

Пример. Найти производную функции

По правилу вычисления производной сложной функции получаем: , где , и, следовательно, по правилу производной частного, получаем

. Собирая функции вместе, получим

Пример. Найти производную функции , если

Найдем , . По формуле производной функции, заданной параметрически, получаем .

Задача 8.

Для решения задачи 8 необходимо знать определение понятия дифференциала функции, формул приближенного вычисления значений функции с помощью дифференциала. Приведем основные теоретические факты.

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f¢(x)dx.

Геометрический смысл дифференциала.

y

f(x)

K

dy

M Dy

L

a

x x + Dx x

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.