Односторонние производные функции в точке.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Перейдем к решению типовых примеров

Пример. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

 

x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

 

Тогда

 

Пример. Найти предел .

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к разности корней:

=

= .

 

Пример. Найти предел .

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: , , получим

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

 

 

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

 

 

у

 

 

-4 -1 0 1 х

 

 

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

 

 

 

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода


 

у

 

 

 

-p -p/2 0 1 x

 

Задача 7.

Для решения задачи 7 необходимо изучить раздел 3 – дифференциальное исчисление функций одной переменной в части вычисления производной функции. Приведем основные теоретические факты, необходимые здесь.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

у

f(x)

 

 

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Производная функции показывает скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке, а операция нахождения производной – дифференцированием.

 

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

 

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0