Решение типового примера.
М
Обратимся к решению типового примера.
Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5).
1) Наймем длину ребра А1А2.
2) Найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4.
3) Найдем уравнение грани (плоскости) А1А2А3.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
2x + 2y + 2z – 8 = 0
или
x + y + z – 4 = 0
Площадь грани А1А2А3 найдем по формуле , где = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2).
, – вектор нормали к плоскости А1А2А3, .
Получаем , тогда (ед3).
4) Уравнение прямой найдем по формуле задания прямой по точке A4(1; 2; 5) и направляющему вектору. В качестве такого вектора может выступать вектор – нормаль к плоскости А1А2А3:
,
или в параметрической форме .
Задача 4.
Решение задачи 4 основывается на материале раздела «Кривые второго порядка».
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
1) - уравнение эллипса.
2) - уравнение “мнимого” эллипса.
3) - уравнение гиперболы.
4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
5) y2 = 2px – уравнение параболы.
6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Окружность.
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.
В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:
2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:
x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16
Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.
Эллипс.
Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .
Определение. Фокусаминазываются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
у
r1
r2
F1 O F2 х
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
a2 = b2 + c2.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
е = с/a.
Т.к. с < a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатияэллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатиемэллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.
Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.
Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.
Гипербола.
Определение. Гиперболойназывается множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
y
M(x, y)
b
r1
r2
x
F1 a F2
c
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .
Парабола.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
А М(х, у)
О F x
p/2 p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметромпараболы.
Каноническое уравнение параболы имеет вид
y2 = 2px
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Возможны другие виды парабол: , ветви которой направлены влево; – с ветвями вверх; – с ветвями вниз.
Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие: расстояние до точки равно расстоянию до прямой
Решение. Пусть – точка этого множества (см. рис.). Пусть N – основание перпендикуляра, опущенного на прямую , поэтому . По условию задачи: , что означает или, раскрывая скобки и возводя обе части в квадрат, . Переносим выражения в одну часть и приводя подобные, получим или . Получили уравнение параболы с вершиной в точке (0, 3), ветви которой направлены вниз, а параметр .
Ответ: Множество точек представляет собой параболу .