Формула Грина
Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
Классы интегрируемых функций
Условие существования двойного интеграла
План
- Условие существования двойного интеграла
- Классы интегрируемых функций
- Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
- Формула Грина
Пусть в области определена функция .
Теорема 1 (необходимое условие существования двойного интеграла). Если функция интегрируема на , она ограничена на .
Пусть ограничена на . Разобьем область кривыми на конечное число частей , ,..., , площади которых соответственно равны . Обозначим:
.
Определение 1. Нижней (верхней) суммой Дарбу от функции на области , которая отвечает построенному разбиению области на части , ,..., , называется
.
Свойства сумм Дарбу для функции двух переменных аналогичны свойствам сумм Дарбу для функции одной переменной. Аналогично определяются нижний и верхний интегралы Дарбу.
Теорема 2 (критерий существования двойного интеграла). Для того, чтобы функция была интегрируема на , необходимо и достаточно, чтобы
.
1. Любая непрерывная на функция является интегрируемой на .
2. Если ограниченная на функция имеет разрывы лишь на конечном количестве кривых с площадью 0, то она интегрируема на .
1. Если изменить значение интегрированной на функции вдоль любой кривой с площадью 0, то новая функция также будет интегрируемой на , а ее интеграл будет совпадать с интегралом от .
2. Если область , на которой определена , кривой с площадью 0 разложена на и , то из интегрируемости функции на следует ее интегрируемость на и , и наоборот: из интегрируемости на и следует интегрируемость на . При этом:
.
3. Если функция интегрируема на , а , то
.
Задание. Записать другие свойства двойных интегралов (Фихтенгольц, т.ІІІ, с.127-134).
Пусть на области , которая является криволинейной трапецией І типа (рис.1), определена функция , которая является непрерывной в вместе с частной производной . Тогда
. (1)
Но
, (2)
Подставим (2) в (1):
, (3)
где - это контур , который обходится в положительном направлении.
Аналогично, пусть на области , которая теперь является криволинейной трпецией ІІ типа (рис.2), определена функкция , которая является непрерывной в вместе с частной производной . Тогда можно доказать, что
. (4)
Замечание 1. Формула (3) ((4)) имеет место, если область прямыми, параллельными оси ОУ (оси ОХ) раскладывается на конечное количество криволинейных трапеций І типа (ІІ типа).
Замечание 2. Если область одновременно удовлетворяет условиям обоих случаев, т.е. раскладывается как на конечное количество трапеций І типа, так и на конечное количество трапеций ІІ типа, и если предположить непрерывность , , , , то
. (5)
Формула (5), которая устанавливает связь между криволинейным и двойным интегралами, называется формулой Грина.
Пример. Проверить формулу Грина для функций , . Обе функции имеют разрыв в точке (0,0). Рассмотрим как круг радиуса 1 с центром в (0,0). Тогда определяется как
.
При этом
, ,
.
Кроме того
.
Таким образом, формула Грина имеет место, хотя в т.(0,0) функции имеют разрыв.