Лекция 45. Свойства двойного интеграла

План

  1. Побудова інтегральної суми для подвійного інтегралу. Визначення подвійного інтегралу
  2. Криволінійні трапеції першого і другого типу.
  3. Зведення подвійного інтегралу до повторного
  1. Побудова інтегральної суми для подвійного інтегралу. Визначення подвійного інтегралу

Нехай в області визначена функція . Розібємо область кривими на скінченну кількість часток , ,..., , площі яких відповідно позначимо (рис.1). В кожній підобласті оберемо довільно точку , обчислимо значення функції у цих точках. Суму

 

 

 

будемо називати інтегральною сумою для в області .

Позначимо:

.

 

 

 

Рис.1.

 

Визначення. Якщо існує , яка не залежить ні від того, як область розбивалася на частки, ні від того, як обиралися проміжкові точки , то ця границя називається подвійним інтегралом від функції в області і позначається:

 

.

 

Геометричний зміст подвійного інтегралу. Розглянемо тіло , яке зверху обмежено поверхнею , знизу – плоскою фігурою , яка знаходиться на координатній площині ХОУ, з боків – циліндричною поверхнею з твірною, паралельною осі OZ(рис.1). Тоді значення подвійного інтегралу - це обєм тіла (рис.1).

  1. Зведення подвійного інтегралу до повторного

Нехай тіло в тривимірному просторі обмежено площинами . Припустимо, що переріз тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ, яка перетинає цю вісь у точці з абсцисою ( ), має площу . Тоді, як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана», обєм тіла буде обчислюватися за формулою:

 

. (5)

 

Скористаємося цією формулою для обєма циліндричного тіла. Нехай спочатку в його основі буде прямокутник (рис.2). Переріз тіла площиною є криволінійною трапецією проекція якої на координатну площину - (рис.2). Площа отриманого перерізу буде дорівнювати:

 

. (10)

 

Формула (10) має місце для будь-якого , тому

 

. (20)

 

Підставляючи (20) у (5), отримаємо:

 

. (30)

 

Враховуючи геометричний зміст подвійного інтеграла, з формули (30) отримаємо:

 

. (40)

 

Формула (40) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область .

 

Рис.2.

 

Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією І типа і обмежена кривими

 

 

 

(рис.3). Цей випадок відрізняється від попереднього тим, що раніше для кожного фіксованого значення змінювалися на , а тепер , тому

 

.

 

Тоді

. (50)

 

Формула (50) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область є криволінійною трапецією І типа.

Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією ІІ типа (рис.4), тоді має місце настуна формула зведення подвійного інтеграла до повторного:

 

. (60)

 

 

 

Якщо область на ХОУ є одночасно як криволінійною трапецією І, так і ІІ типа, то для обчислення подвійного інтеграла можна користуватися формулами (50), (60) і при цьому:

 

. (70)

 

Формула (70) – це формула заміни порядку інтегрування.