Лекция 45. Свойства двойного интеграла
План
- Побудова інтегральної суми для подвійного інтегралу. Визначення подвійного інтегралу
- Криволінійні трапеції першого і другого типу.
- Зведення подвійного інтегралу до повторного
- Побудова інтегральної суми для подвійного інтегралу. Визначення подвійного інтегралу
Нехай в області визначена функція . Розібємо область кривими на скінченну кількість часток , ,..., , площі яких відповідно позначимо (рис.1). В кожній підобласті оберемо довільно точку , обчислимо значення функції у цих точках. Суму
будемо називати інтегральною сумою для в області .
Позначимо:
.
Рис.1.
Визначення. Якщо існує , яка не залежить ні від того, як область розбивалася на частки, ні від того, як обиралися проміжкові точки , то ця границя називається подвійним інтегралом від функції в області і позначається:
.
Геометричний зміст подвійного інтегралу. Розглянемо тіло , яке зверху обмежено поверхнею , знизу – плоскою фігурою , яка знаходиться на координатній площині ХОУ, з боків – циліндричною поверхнею з твірною, паралельною осі OZ(рис.1). Тоді значення подвійного інтегралу - це обєм тіла (рис.1).
- Зведення подвійного інтегралу до повторного
Нехай тіло в тривимірному просторі обмежено площинами . Припустимо, що переріз тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ, яка перетинає цю вісь у точці з абсцисою ( ), має площу . Тоді, як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана», обєм тіла буде обчислюватися за формулою:
. (5)
Скористаємося цією формулою для обєма циліндричного тіла. Нехай спочатку в його основі буде прямокутник (рис.2). Переріз тіла площиною є криволінійною трапецією проекція якої на координатну площину - (рис.2). Площа отриманого перерізу буде дорівнювати:
. (10)
Формула (10) має місце для будь-якого , тому
. (20)
Підставляючи (20) у (5), отримаємо:
. (30)
Враховуючи геометричний зміст подвійного інтеграла, з формули (30) отримаємо:
. (40)
Формула (40) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область .
Рис.2.
Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією І типа і обмежена кривими
(рис.3). Цей випадок відрізняється від попереднього тим, що раніше для кожного фіксованого значення змінювалися на , а тепер , тому
.
Тоді
. (50)
Формула (50) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область є криволінійною трапецією І типа.
Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією ІІ типа (рис.4), тоді має місце настуна формула зведення подвійного інтеграла до повторного:
. (60)
Якщо область на ХОУ є одночасно як криволінійною трапецією І, так і ІІ типа, то для обчислення подвійного інтеграла можна користуватися формулами (50), (60) і при цьому:
. (70)
Формула (70) – це формула заміни порядку інтегрування.