Лекція 44. Подвійні інтеграли
План
Лекция 44. Двойные интегралы
Питання
Умови незалежності криволінійного інтегралу ІІ роду від шляху інтегрування. Ознака точного диференціалу
Нехай - деяка звязана область. Нехай на цій області визначені неперервні функції . Нехай і - дві довільні точки з області , - довільна крива, яка зєднує і і цілком знаходиться в .
Питання: Коли значення інтеграла
(60)
не залежить від форми шляху , тобто однозначно визначається тільки точками і ?
Теорема. Для того, щоб інтеграл (60) не залежав від шляху інтегрування, необхідно і достатньо, щоб диференціальний вираз був в області диференціалом від деякої функції :
,
тобто .
Припустимо, що в області неперервні не тільки самі функції , а і . Якщо , тобто , то
.
Оскільки - неперервні, то неперервні і мішані похідні другого порядку , а тому , з чого витікає:
. (70)
Умова (70) – це необхідна умова того, щоб вираз був в області повним диференціалом. Можна показати, що (70) – це і достатня умова в випадку однозвязності . Таким чином, має місце наступна теорема.
Теорема. Для того, щоб криволінійний інтеграл ІІ роду (60), де б в області не були взяті точки і , не залежав від форми шляху , необхідно, а якщо - однозвязна обасть, і достатньо, щоб виконувалась умова (70).
- Як обчислюється площа криволінійної трапеції за допомогою інтеграла Римана?
- Яка криволінійна трапеція називається трапецією І типа (ІІ типа)?
- Як обчислюється площа криволінійної трапеції І типу (ІІ типу) за допомогою криволінійного інтеграла ІІ роду?
- Як обчислюється площа криволінійної трапеції, яка одночасно є трапецією І і ІІ типу, за допомогою криволінійного інтеграла ІІ роду?
- Як обчислюється площа плоскої області, яка не є криволінійною трапецією?
- Коли значення криволінійного інтеграла ІІ роду не залежить від шляху інтегрування?
- Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
- Криволинейные трапеции первого и второго типа.
- Сведение двойного интеграла к повторному
- Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
Пусть в области определена функция . Разобьем область кривыми на конечное количество частей , ,..., , площади которых соответственно обозначим (рис.1). В каждой подобласти выберем произвольно точку , вычислим значение функции в этих точках. Сумму
будем называть интегральной суммой для в области .
Обозначим:
.
Рис.1.
Определение. Если существует , который не зависит ни от того, как область разбивалась на части, ни от того, как выбирались промежуточные точки , то этот предел называется двойным интегралом от функции в области и обозначается:
.
Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим тело , которое сверху ограниченно поверхностью , снизу - плоской фигурой , которая находится на координатной плоскости ХОУ, по бокам - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ(рис.1). Тогда значение двойного интеграла - это объем тела (рис.1).
- Сведение двойного интеграла к повторному
Пусть тело в трехмерном пространстве ограничено плоскостями . Предположим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, которая пересекает эту ось в точке с абсциссой ( ), имеет площадь . Тогда, как известно из темы «Применение интеграла Римана», объем тела будет вычисляться по формуле:
. (5)
Воспользуемся этой формулой для объема цилиндрического тела. Пусть сначала в его основе будет прямоугольник (рис.2). Сечение тела плоскостью является криволинейной трапецией ,проекция которой на координатную плоскость - (рис.2). Площадь полученного сечения будет равняться:
. (10)
Формула (10) имеет место для любого , поэтому
. (20)
Подставляя (20) в (5), получим:
. (30)
Учитывая геометрический смысл двойного интеграла, из формулы (30) получим:
. (40)
Формула (40) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область .
Рис.2.
Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией І типа и ограничена кривыми
(рис.3). Этот случай отличается от предыдущего тем, что раньше для каждого фиксированного значения изменялись на , а теперь , поэтому
.
Тогда
. (50)
Формула (50) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область является криволинейной трапецией І типа.
Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией ІІ типа (рис.4), тогда имеет место следующая формула сведения двойного интеграла к повторному:
. (60)
Если область на ХОУ является одновременно как криволинейной трапецией І, так и ІІ типа, то для вычисления двойного интеграла можно пользоваться формулами (50), (60) и при этом:
. (70)
Формула (70) - это формула замены порядка интегрирования.