Лекція 44. Подвійні інтеграли

План

Лекция 44. Двойные интегралы

Питання

Умови незалежності криволінійного інтегралу ІІ роду від шляху інтегрування. Ознака точного диференціалу

Нехай - деяка звязана область. Нехай на цій області визначені неперервні функції . Нехай і - дві довільні точки з області , - довільна крива, яка зєднує і і цілком знаходиться в .

Питання: Коли значення інтеграла

 

(60)

 

не залежить від форми шляху , тобто однозначно визначається тільки точками і ?

Теорема. Для того, щоб інтеграл (60) не залежав від шляху інтегрування, необхідно і достатньо, щоб диференціальний вираз був в області диференціалом від деякої функції :

 

,

 

тобто .

 

Припустимо, що в області неперервні не тільки самі функції , а і . Якщо , тобто , то

 

.

 

Оскільки - неперервні, то неперервні і мішані похідні другого порядку , а тому , з чого витікає:

. (70)

 

Умова (70) – це необхідна умова того, щоб вираз був в області повним диференціалом. Можна показати, що (70) – це і достатня умова в випадку однозвязності . Таким чином, має місце наступна теорема.

Теорема. Для того, щоб криволінійний інтеграл ІІ роду (60), де б в області не були взяті точки і , не залежав від форми шляху , необхідно, а якщо - однозвязна обасть, і достатньо, щоб виконувалась умова (70).

 

  1. Як обчислюється площа криволінійної трапеції за допомогою інтеграла Римана?
  2. Яка криволінійна трапеція називається трапецією І типа (ІІ типа)?
  3. Як обчислюється площа криволінійної трапеції І типу (ІІ типу) за допомогою криволінійного інтеграла ІІ роду?
  4. Як обчислюється площа криволінійної трапеції, яка одночасно є трапецією І і ІІ типу, за допомогою криволінійного інтеграла ІІ роду?
  5. Як обчислюється площа плоскої області, яка не є криволінійною трапецією?
  6. Коли значення криволінійного інтеграла ІІ роду не залежить від шляху інтегрування?

 

 

  1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
  2. Криволинейные трапеции первого и второго типа.
  3. Сведение двойного интеграла к повторному
  1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла

Пусть в области определена функция . Разобьем область кривыми на конечное количество частей , ,..., , площади которых соответственно обозначим (рис.1). В каждой подобласти выберем произвольно точку , вычислим значение функции в этих точках. Сумму

 

 

 

будем называть интегральной суммой для в области .

Обозначим:

.

 

 

 

Рис.1.

 

Определение. Если существует , который не зависит ни от того, как область разбивалась на части, ни от того, как выбирались промежуточные точки , то этот предел называется двойным интегралом от функции в области и обозначается:

 

.

 

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим тело , которое сверху ограниченно поверхностью , снизу - плоской фигурой , которая находится на координатной плоскости ХОУ, по бокам - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ(рис.1). Тогда значение двойного интеграла - это объем тела (рис.1).

  1. Сведение двойного интеграла к повторному

Пусть тело в трехмерном пространстве ограничено плоскостями . Предположим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, которая пересекает эту ось в точке с абсциссой ( ), имеет площадь . Тогда, как известно из темы «Применение интеграла Римана», объем тела будет вычисляться по формуле:

 

. (5)

 

Воспользуемся этой формулой для объема цилиндрического тела. Пусть сначала в его основе будет прямоугольник (рис.2). Сечение тела плоскостью является криволинейной трапецией ,проекция которой на координатную плоскость - (рис.2). Площадь полученного сечения будет равняться:

 

. (10)

 

Формула (10) имеет место для любого , поэтому

 

. (20)

 

Подставляя (20) в (5), получим:

 

. (30)

 

Учитывая геометрический смысл двойного интеграла, из формулы (30) получим:

 

. (40)

 

Формула (40) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область .

 

 

Рис.2.

 

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией І типа и ограничена кривыми

 

 

 

(рис.3). Этот случай отличается от предыдущего тем, что раньше для каждого фиксированного значения изменялись на , а теперь , поэтому

 

.

 

Тогда

. (50)

 

Формула (50) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область является криволинейной трапецией І типа.

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией ІІ типа (рис.4), тогда имеет место следующая формула сведения двойного интеграла к повторному:

 

. (60)

 

 

 

Если область на ХОУ является одновременно как криволинейной трапецией І, так и ІІ типа, то для вычисления двойного интеграла можно пользоваться формулами (50), (60) и при этом:

 

. (70)

 

Формула (70) - это формула замены порядка интегрирования.