Обчислення площі за допомогою криволінійного інтегралу ІІ роду

План

Вопросы

Условия независимости криволинейного интеграла ІІ рода от пути интегрирования. Признак точного дифференциала

Пусть - некоторая связная область. Пусть на этой области определены непрерывные функции . Пусть и - две произвольные точки из области , - произвольная кривая, которая соединяет и и полностью находится в .

Вопрос: Когда значение интеграла

 

(60)

 

не зависит от формы пути , т.е. однозначно определяется только точками и ?

Теорема. Для того, чтобы интеграл (60) не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное выражение было в области дифференциалом от некоторой функции :

 

,

 

т.е. .

 

Пусть в области непрерывны не только сами функции , а и . Если , т.е. , то

 

.

 

Поскольку - непрерывны, то непрерывны и смешанные производные второго порядка , а потому , из чего следует:

. (70)

 

Условие (70) - это необходимое условие того, чтобы выражение было в области полным дифференциалом. Можно показать, что (70) – это и достаточное условие в случае односвязности . Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл ІІ рода (60), где бы в области не были взяты точки и , не зависел от формы пути , необходимо, а если - односвязная обасть, и достаточно, чтобы выполнялось условие (70).

 

  1. Как вычисляется площадь криволинейной трапеции с помощью интеграла Римана?
  2. Какая криволинейная трапеция называется трапецией І типа (ІІ типа)?
  3. Как вычисляется площадь криволинейной трапеции І типа (ІІ типа) с помощью криволинейного интеграла ІІ рода?
  4. Как вычисляется площадь криволинейной трапеции, которая одновременно является трапецией І і ІІ типа, с помощью криволинейного интеграла ІІ рода?
  5. Как вычисляется площадь плоской области, которая не является криволинейной трапецией?
  6. Когда значение криволинейного интеграла ІІ рода не зависит от пути интегрирования?

 

 

  1. Обчислення площі за допомогою криволінійного інтегралу ІІ роду
  2. Умови незалежності криволінійного інтегралу ІІ роду від шляху інтегрування. Ознака точного диференціалу

Треба обчислити площу криволінійної трапеції (рис.1), при цьому і можуть бути стягнутими в точки. Криві і задаються наступним чином:

 

: , : , ,

 

і вони такі, що будь-яка пряма, паралельна ОУ ( ) перетинає кожну з них в одній точці. Таку криволінійну трапецію будемо називати трапецією І типу.

 

 

Як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана», площа криволінійної трапеції визначається за допомогою формули:

 

. (10)

 

З іншого боку :

 

, ,

 

Тоді

 

 

 

. (20)

 

Нехай - це контур . Оберемо додатний напрямок обходу цього контура (протилежний тому напрямку, який зображено на рис.1), тоді з формули (20) маємо, що площа криволінійної трапеції І типу може бути обчислена за формулою:

 

. (30)

 

Розглянемо криволінійну трапецію ІІ типу (рис.2), яка обмежена

 

: , : , ,

 

а і можуть бути стягнутими в точки. Криві і такі, що будь-яка пряма, паралельна ОХ ( ) перетинає кожну з них в одній точці. Крива - це контур .

 

 

 

Тоді аналогічно тому, як це було зроблене вище для криволінійної трапеції І типу, можна показати, що площа криволінійної трапеції ІІ типу може бути обчислена за допомогою формули:

. (40)

 

Деякі області одночасно можна розглядати як криволінійні трапеції і І, і ІІ типу (наприклад, область на рис.3). В цьому випадку для обчислення площі такої фігури підходять обидві формули: (30) і (40). якщо ці формули почленно скласти і поділити на 2, то отримаємо ще одну формулу для обчислення площі фігури, яка одночасно є криволінійною трапецією і І, і ІІ типу, у вигляді криволінійного інтеграла загального виду:

 

. (50)

 

 

 

Нехай тепер треба обчислити площу плоскої фігури, яка не є криволінійною трапецією ні І, ні ІІ типу (наприклад, фігура, яка представлена на рис.4). У цьому випадку подану фігуру розбивають прямими, паралельними осям координат, на частки, кожна з яких буде криволінійною трапецією І чи ІІ типу (рис.4). Площу кожної частки обчислюють, користуючись одною з формул (30), (40), (50). Площа всієї фігури буде дорівнювати сумі площ її часток.

 

 

 

Рис.4.

 

Приклад. Знайти площу еліпса, параметричне завдання якого, як відомо, виглядає наступним чином:

.

 

Оскільки еліпс є одночасно як криволінійною трапецією І, так і ІІ типу, для обчислення його площі можна скористатися формулою, наприклад, (50):

 

.