Обчислення площі за допомогою криволінійного інтегралу ІІ роду
План
Вопросы
Условия независимости криволинейного интеграла ІІ рода от пути интегрирования. Признак точного дифференциала
Пусть - некоторая связная область. Пусть на этой области определены непрерывные функции . Пусть и - две произвольные точки из области , - произвольная кривая, которая соединяет и и полностью находится в .
Вопрос: Когда значение интеграла
(60)
не зависит от формы пути , т.е. однозначно определяется только точками и ?
Теорема. Для того, чтобы интеграл (60) не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное выражение было в области дифференциалом от некоторой функции :
,
т.е. .
Пусть в области непрерывны не только сами функции , а и . Если , т.е. , то
.
Поскольку - непрерывны, то непрерывны и смешанные производные второго порядка , а потому , из чего следует:
. (70)
Условие (70) - это необходимое условие того, чтобы выражение было в области полным дифференциалом. Можно показать, что (70) – это и достаточное условие в случае односвязности . Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл ІІ рода (60), где бы в области не были взяты точки и , не зависел от формы пути , необходимо, а если - односвязная обасть, и достаточно, чтобы выполнялось условие (70).
- Как вычисляется площадь криволинейной трапеции с помощью интеграла Римана?
- Какая криволинейная трапеция называется трапецией І типа (ІІ типа)?
- Как вычисляется площадь криволинейной трапеции І типа (ІІ типа) с помощью криволинейного интеграла ІІ рода?
- Как вычисляется площадь криволинейной трапеции, которая одновременно является трапецией І і ІІ типа, с помощью криволинейного интеграла ІІ рода?
- Как вычисляется площадь плоской области, которая не является криволинейной трапецией?
- Когда значение криволинейного интеграла ІІ рода не зависит от пути интегрирования?
- Обчислення площі за допомогою криволінійного інтегралу ІІ роду
- Умови незалежності криволінійного інтегралу ІІ роду від шляху інтегрування. Ознака точного диференціалу
Треба обчислити площу криволінійної трапеції (рис.1), при цьому і можуть бути стягнутими в точки. Криві і задаються наступним чином:
: , : , ,
і вони такі, що будь-яка пряма, паралельна ОУ ( ) перетинає кожну з них в одній точці. Таку криволінійну трапецію будемо називати трапецією І типу.
Як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана», площа криволінійної трапеції визначається за допомогою формули:
. (10)
З іншого боку :
, ,
Тоді
. (20)
Нехай - це контур . Оберемо додатний напрямок обходу цього контура (протилежний тому напрямку, який зображено на рис.1), тоді з формули (20) маємо, що площа криволінійної трапеції І типу може бути обчислена за формулою:
. (30)
Розглянемо криволінійну трапецію ІІ типу (рис.2), яка обмежена
: , : , ,
а і можуть бути стягнутими в точки. Криві і такі, що будь-яка пряма, паралельна ОХ ( ) перетинає кожну з них в одній точці. Крива - це контур .
Тоді аналогічно тому, як це було зроблене вище для криволінійної трапеції І типу, можна показати, що площа криволінійної трапеції ІІ типу може бути обчислена за допомогою формули:
. (40)
Деякі області одночасно можна розглядати як криволінійні трапеції і І, і ІІ типу (наприклад, область на рис.3). В цьому випадку для обчислення площі такої фігури підходять обидві формули: (30) і (40). якщо ці формули почленно скласти і поділити на 2, то отримаємо ще одну формулу для обчислення площі фігури, яка одночасно є криволінійною трапецією і І, і ІІ типу, у вигляді криволінійного інтеграла загального виду:
. (50)
Нехай тепер треба обчислити площу плоскої фігури, яка не є криволінійною трапецією ні І, ні ІІ типу (наприклад, фігура, яка представлена на рис.4). У цьому випадку подану фігуру розбивають прямими, паралельними осям координат, на частки, кожна з яких буде криволінійною трапецією І чи ІІ типу (рис.4). Площу кожної частки обчислюють, користуючись одною з формул (30), (40), (50). Площа всієї фігури буде дорівнювати сумі площ її часток.
Рис.4.
Приклад. Знайти площу еліпса, параметричне завдання якого, як відомо, виглядає наступним чином:
.
Оскільки еліпс є одночасно як криволінійною трапецією І, так і ІІ типу, для обчислення його площі можна скористатися формулою, наприклад, (50):
.