Зведення криволінійного інтегралу І роду до інтегралу Римана
Визначення криволінійного інтегралу І роду
План
Лекція 41. Криволінійні інтеграли І роду
- Задача про обчислення маси кривої
- Визначення криволінійного інтегралу І роду
- Зведення криволінійного інтегралу І роду до інтегралу Римана
1.Задача про обчислення маси кривої
Нехай на площині задана неперервна проста спрямлювана крива деякої маси (рис.1), відома функція її лінійної густини у всіх точках кривої. Необхідно визначити масу всієї кривої .
Розіб’ємо криву на частки довільно обраними на ній проміжковими точками (рис.1). Для визначеності будемо вважати, що точки
занумеровані у напряму від до (але можливо і навпаки). На кожні частковій дузі оберемо довільно точку , з координатами (рис.1). Обчислимо в точках , значення . Будемо вважати, що в кожній точці часткової дуги така ж сама густина. Позначимо довжину дуги . Тоді маса часткової дуги буде оцінюватися як
,
а . (10)
Якщо всі прямують до 0, то похибка для , що обчислюється за допомогою формули (10), теж наближається до 0.
Нехай
,
тоді
. (20)
Розглянута задача дає наочне представлення про криволінійний інтеграл І роду.
Нехай вздовж кривої визначена якась функція , яку назовемо «функцією точки». Повторимо дії, що були проведені вище для задачі про масу кривої для довільної функції . Нехай , побудуємо
= . (30)
Сума (30) є інтегральною сумою для криволінійного інтегралу І типу.
Аналогічний процес побудови інтегральної суми можна використовувати і в випадку замкненої кривої.
Визначення 1. Нехай існує скінченна границя
,
яка не залежить ні від способу розбивки на частки , ні від вибору проміжкових точок , то ця границя називається криволінійним інтегралом І роду від функції по кривій і позначається:
.
Тоді відповідно до формули (20) і визначення 1 маса кривої обчислюється як
.
Зауваження 1. В визначенні криволінійного інтегралу І роду немає значення напрямок, який обирається на кривій , тобто, якщо точки - це кінці кривої , то
.
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл І роду по кривій , яка знаходиться не на площині, а в тривимірному просторі:
.
Припустимо, що на кривій обрано напрямок від до (один з двох можливих). Тоді положення довільної точки на кривій може бути визначено не тільки її координатами , а і довжиною дуги , яка відраховується від початкової точки . Тоді крива може бути параметрично визначена наступним чином:
,
де - довжина всієї кривої . Функція , яка визначена вздовж кривої , зведеться до складної функції від змінної .
Позначимо значення довжин дуг, які відповідають на кривій точкам , через , тоді
.
Позначимо через , значення довжини дуги, які визначають положення точок . Тоді
,
тобто інтегральна сума для криволінійного інтеграла І роду є одночасно інтегральною сумою для звичайного визначеного інтегралу Римана, тому маємо:
, (40)
(де означає звичайний інтеграл Римана), до того ж існування одного інтеграла веде за собою існування іншого.
Будемо далі припускати, що функція , яка визначена на кривій , є неперервною. Нехай тепер проста крива визначена довільними параметричними рівняннями:
, (45)
де функції - неперервні. Тоді крива є спрямлюваною і, якщо зростання дуги відповідає зростанню параметра , то (як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана»)
. (50)
Тоді
Таким чином, в випадку, коли крива визначена параметрично за допомогою (45), формула зведення криволінійного інтегралу І типу до інтеграла Римана має вид:
. (60)
Нехай тепер крива визначена за допомогою звичайного рівняння:
, (70)
тоді для того, щоб застосувати формулу (60) в цьому випадку, приведемо завдання кривої (70) до параметричного виду звичайним способом, розглядаючи змінну як параметр:
.
Формула (60) приймає вид:
. (80)
Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл І типу , де - це чверть еліпсу , яка знаходиться в І квадранті.
Перейдемо до параметричного завдання потрібної частки еліпсу:
.
Тоді
.