Інтегральна ознака Коші-Маклорена

Ознаки Коші та Даламбера збіжності рядів з додатними членами

Друга ознака збіжності рядів

Теорема 4(друга ознака порівняння). Нехай є два ряди (5) і (7) - і з додатними членами. Якщо, починаючи з деякого номера для виконується нерівність:

(20)

то:

1) Із збіжності ряда випливає збіжність ряда ;

2) Із розбіжності ряда випливає розбіжність ряда .

Доказ. Будемо вважати, як і раніше, що нерівність (20) виконується для :

, , ... , , ...

Перемножимо ці нерівності почленно:

. (30)

З нерівності (30) і першої ознаки порівняння в формі нерівностей маємо:

.

.

Теорема 5 (ознака Коші в формі нерівностей). Нехай розглядається ряд з додатними членами:

Побудуємо для членів ряду послідовність наступним чином:

. (40)

Якщо починаючи з деякого номеру для виконується нерівність:

,

де , то ряд збігається. Якщо починаючи з деякого номеру для виконується нерівність:

,

то ряд розбігається.

Доказ. Оскільки , то . Розглянемо ряди: і ряд . Ряд - це сума геометричної прогресії із знаменником , тому цей ряд збігається. Тоді з першої ознаки порівняння в формі нерівностей збігається і ряд .

Якщо , то , це означає, що для ряду не виконується необхідна умова збіжності, тому він є розбіжним.

Теорема 6 (ознака Коші в граничній формі). Розглядається ряд з додатними членами, для якого побудованапослідовність : . Позначимо:

.

Якщо , то ряд збігається, якщо , то ряд розбігається, якщо , то ніякого висновку про збіжність ряду зробити не можна.

Теорема 7 (ознака Даламбера в формі нерівностей). Нехай розглядається ряд з додатними членами Побудуємо для членів ряду послідовність наступним чином:

. (50)

Якщо починаючи з деякого номеру для виконується нерівність:

,

де , то ряд збігається. Якщо починаючи з деякого номеру для виконується нерівність:

,

то ряд розбігається.

Доказ. Самостійно.

Теорема 8 (ознака Даламбера в граничній формі). Розглядається ряд з додатними членами, для якого побудованапослідовність : . Позначимо:

.

Якщо , то ряд збігається, якщо , то ряд розбігається, якщо , то ніякого висновку про збіжність ряду зробити не можна.

Зауваження. У всіх випадках, коли ознака Даламбера дає відповідь на питання про поведінку ряда, відповідь також може бути отриманою за допомогою ознаки Коші. Навпаки взагалі не вірно: ознака Коші сильніша за ознаку Даламбера.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Спробуємо вирішити це питання за допомогою ознаки Даламбера.

.

Таким чином, ознака Даламбера не дала відповідь на питання про збіжність (розбіжність) ряду.

Скористаємося ознакою Коші, оскільки вона сильніша за ознаку Даламбера.

.

Нехай визначена на . Припустимо, що для існує . Невластивим інтегралом І роду називається:

.

Приклад . Обчислити інтеграл .

.

Нехай в нас є ряд

, (10)

де - це значення деякої функції , коли , ця функція визначена для . (початковим значенням номеру , замість 1, може бути і будь-яке інше натуральне число , тоді і функцію будемо розглядати, коли ).

Припустимо, що

1. неперервна,

2. додатна,

3. монотонно спадає.

Розглянемо будь-яку первісну функцію для :

- монотонно зростає,

а може бути скінченою, а може дорівнювати .

Розглянемо

(20)

Зрізана сума для ряду має вид:

.

Таким чином, ряд буде збіжним (розбіжним), якщо буде існувати , чи інакше, якщо буде існувати скінчена (якщо ).

З рядом (20) ми порівняємо поданий ряд (10). За теоремою Лагранжу

, де

.

Оскільки за умовою функція монотонно спадає, то

.

З частки (30) останньої формули витікає, що якщо ряд (20) збігається, то збігається (за першою ознакою порівняння в формі нерівностей) і ряд , а тому і ряд . Якщо ряд (20) розбігається, то з (40) (за першою ознакою порівняння в формі нерівностей) витікає розбіжність поданого ряду (10).

Теорема 9 (інтегральна ознака). При припущеннях 1-3 відносно властивостей функції ряд (10) збігається чи розбігається залежно від того, існує чи не існує невластивий інтеграл (тобто чи існує скінчена , де - первісна функція для ).

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд , де - параметр. Якщо , поданий ряд є розбіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності. Нехай тепер . Для елементів ряду розглянемо відповідну функцію, яка їх породжує: . При на множині ця функція є неперервною, додатною, монотонно спадаючою, тобто для функції виконуються умови 1-3. Первісна для неї

.

Приклад 2.Дослідити на збіжність ряд , ( - параметр). Функція , яка породжує елементи ряду, задовольняє умовам 1-3. Первісна для неї:

.

,

тому поданий ряд збігається при .