Перша ознака порівняння збіжності рядів в формі нерівностей
План
Лекція 29. Ряди з додатними членами
- Перша ознака порівняння збіжності рядів в формі нерівностей
- Перша ознака порівняння в граничній формі
- Друга ознака збіжності рядів
- Ознаки Коші та Даламбера збіжності рядів з додатними членами
- Інтегральна ознака Коші-Маклорена
Далі розглядаються ряди з додатними членами:
(1)
Нехай - послідовність зрізаних сум ряда . Оскільки (1) – це ряд з додатними членами, то послідовність є монотонно зростаюча, а тому вона буде збіжною тоді і тільки тоді, коли буде обмеженою зверху. З цього витікає
Теорема 1 (критерій збіжності рядів з додатними членами). Для того, щоб ряд (1) з додатними членами збігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність зрізаних сум цього ряду була обмеженою зверху.
Теорема 2 (перша ознака порівняння в формі нерівностей). Нехай є два ряди (позначимо їх і ) з додатними членами:
, (5)
(7)
Якщо, починаючи з деякого номера для виконується нерівність:
(10)
то:
1) Із збіжності ряда випливає збіжність ряда ;
2) Із розбіжності ряда випливає розбіжність ряда .
Доказ. В умові теореми сказано, що нерівність (10) для елементів рядів і виконується, починаючи з деякого номера , але, враховуючи те, що збіжність (розбіжність) ряду залишається, якщо з нього усунути скінченну кількість елементів, можна вважати, що нерівність (10) виконується для .
Нехай - послідовність зрізаних сум ряда ; - послідовність зрізаних сум ряда .
1) Нехай ряд збігається. З попередньої теореми витікає, що тоді обмежена зверху, тобто існує така стала , що : . Враховуючи нерівність (10), маємо:
для ,
тобто послідовність зрізаних сум ряда також є обмеженою зверху, а тому ряд є збіжним.
2) Нехай ряд розбігається. Припустимо, що при цьому ряд є збіжним, тоді з доведеного в пункті 1) з цього припущення буде витікати, що - збіжний. Отримали суперечність, тому наше припущення є хибним, а ряд - розбіжним.
2.Перша ознака порівняння в граничній формі
Теорема 3 (перша ознака порівняння в граничній формі). Нехай є два ряди і з додатними членами. Нехай існує
(20)
тоді ряди і ведуть себе однаково, тобто чи одночасно збігаються, чи одночасно розбігаються.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд .
Побудуємо послідовність зрізаних сум цього ряду:
.
Оскільки ,
то поданий ряд є розбіжним. Розбіжність цього ряду можна встановити ще одним способом, користуючись першою ознакою порівняння в граничній формі, що ми і зробимо. Ряд називається гармонічним рядом. Цей ряд є розбіжним (це буде доведено пізніше). Поданий ряд
.
Зберігаючи позначення, введені в теоремах 2,3:
;
.
Обчислимо
.
Таким чином, ряди і ведуть себе однаково, тобто розбігаються, оскільки про гармонічний ряд ми знаємо, що він розбіжний.