Визначення лінійної функції багатьох змінних. Неперервність лінійної функції
План
Лекція 23. Спряжений простір
Вопросы
Сопряженное пространство и его базис
Линейная форма. Общий вид линейной формы
Определение 3. Линейная функция называется линейной формой на пространстве . Множество всех линейных форм на пространстве обозначается и называется пространством, сопряженным с пространством .
Определение 4. Суммой двух линейных форм называется линейная форма , которая действует следующим образом:
.
Определение 5. Произведением линейной формы на скаляр называется линейная форма , которая действует следующим образом:
.
Пусть . Тогда для :
.
Обозначим , тогда
. (10)
Каждую линейную форму на можно представить в виде (10).
Можно легко проверить, что функции
являются линейными формами на . Тогда
.
Таким образом, каждую линейную форму можно представить в виде:
.
Покажем, что совокупность линейных форм - линейно независимая система в пространстве . Предположим, что это не так, т.е. что существуют такие, что линейная форма
является нулевой линейной формой (т.е. каждый вектор пространства переводит в нулевой), а среди есть хотя бы одно ненулевое значение.
Возьмем вектор , на этом векторе значения нулевой линейной формы будет также равняться 0:
,
из чего следует, что , а потому - линейно независимая система в пространстве . Тогда любая линейная форма может быть представлена в виде линейной комбинации функций , сами - линейно независимы, потому - базис пространства . Этот базис называется сопряженным к стандартному базису пространства . Очевидно, имеет место соотношение:
.
1. Определение линейной функции многих переменных.
2. Какой базис называется стандартным базисом в пространстве ?
3. Какие свойства имеет любая линейная функция , определенная в пространстве ?
4. Определение линейной формы в пространстве .
5. Общий вид линейной формы в пространстве .
6. Как определяется сумма линейных форм в пространстве ?
7. Как определяется произведение линейной формы на скаляр в пространстве ?
8. Что такое сопряженное пространство? Базис сопряженного пространства.
9. Связь между базисами пространств и .
- Визначення лінійної функції багатьох змінних. Неперервність лінійної функції
- Лінійна форма. Загальний вигляд лінійної форми
- Спряжений простір та його базис
Визначення 1. Функція називається лінійною функцією, якщо для виконуються умови:
1) ;
2) .
Визначення 2. Стандартним базисом в просторі називається сукупність векторів:
,
,
,
...
.
Твердження 1. Будь-яка лінійна функція рівномірно неперервна на .
Доказ. Нехай - будь-який вектор з , тоді
Таким чином
Тобто для : . Візьмемо :
.
Тоді для , що для таких, що : ,
що говоре про рівномірну неперервність на , а тому, враховуючи звязок між неперервністю і рівномірною неперервністю, і про неперервність в кожній точці .