ГИДРОДИНАМИКИ И РЕОЛОГИИ

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

Лабораторная работа №4

ТЕОРИЯ

Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности струи

Гидродинамика – раздел гидроаэромеханики, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с твердыми телами. В гидродинамике различают понятия идеальной и реальной жидкостей.

Идеальной называют воображаемую жидкость, лишенную вязкости и теплопроводности.

Для описания движения жидкости используют понятия «линия тока» и «трубка тока». При установившемся течении все частицы жидкости движутся по определенным траекториям с определенными скоростями.

Линия тока – это линия, в каждой точке которой вектор скорости частицы направлен по касательной (рис.1.).

Понятие линии тока позволяет изобразить поток жидкости графически. Условились проводить линии тока так, чтобы густота их была пропорциональна величине скорости в данном месте. Там, где линии проведены гуще, скорость течения больше, и наоборот (рис.2).

В общем случае величина и направление вектора в каждой точке пространства могут изменяться со временем, поэтому и картина линий тока будет меняться.

Возможно течение, при котором любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одной и той же скоростью. Течение принимает стационарный характер.

Стационарным называют такое течение, при котором в данной точке вектор скорости не изменяется с течением времени.

Трубка тока – это объем жидкости, ограниченный линиями тока (рис.3).

S₁ и S₂ – два произвольных сечения трубки тока;

и _– скорости течения жидкости в этих

сечениях.

Рассмотрим сечение S трубки тока, перпендикулярное скорости (рис.4).

За время t через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает расстояние l = Vt. Поэтому за время t через сечение S пройдет объем жидкости

V = S, (1)

а за единицу времени объем

. (1)

Теорема о неразрывности струи: при стационарном течении идеальной жидкости произведение площади поперечного сечения S трубки тока на скорость сечения жидкости V есть величина постоянная для любого сечения трубки тока, т.е.

Для доказательства возьмем трубку тока настолько тонкую, что в каждом сечении скорость можно считать постоянной (рис.5.) Жидкость абсолютно несжимаема, т.е. ее плотность во всем объеме жидкости одинакова и неизменна. Тогда количество жидкости между сечениями Sи Sбудет оставаться постоянным, а это возможно только при условии, что объем жидкости, протекающей через сечение Sи Sза время одинаков, т.е. V=V или, учитывая (1), можно записать

SV= SV . (2)

Приведенные рассуждения справедливы для любой пары сечений трубки тока, поэтому величина S×V для любого сечения трубки тока должна быть одна и та же.

Условие неразрывности струи применимо и к реальным жидкостям и газам, если их сжимаемостью можно пренебречь.

На рис.4 буквами ри робозначены статические давления (давления напора) по обе стороны выделенного объема жидкости V = S×l.

Чтобы скорость течения была направлена, как показано на рисунке, необходимо выполнение условия р>р. Тогда работа А по перемещению выбранного нами объема жидкости будет совершаться за счет разности сил давления F- F= рS - рS :

А= .

Учитывая, что , можно записать

. (3)