Производственная функция

В дальнейшем мы будем рассматривать модели, в которых участвуют либо ВНД (валовой национальный доход), либо национальный доход. Как уже отмечалось, эти величины возникают в результате взаимодействия трех факторов производства: рабочей силы (), капитала () и земли (). Сказанное позволяет считать, что существует функциональная зависимость, устанавливающая величину выпуска продукта при том или ином объеме этих факторов: . Здесь – объем продукта (в зависимости от рассматриваемой модели, ВНД или национального дохода).

В тех моделях, которые мы будем рассматривать, земля считается постоянным неизменным фактором, поэтому производственная функция рассматривается как функция лишь 2-х аргументов:

Производственная функция отражает лишь технологические возможности экономики. Поскольку без капитала и рабочей силы невозможен, то.

Иногда, чтобы выяснить влияние на выпуск именно рабочей силы, считают, что капитал не изменяется:. В этом случае производственная функция будет зависеть лишь от ,. И обратно, если зафиксировать, то . Понятно, что; – неубывающие функции.

В дальнейшем будем считать, что эти функции возрастают, непрерывны и, кроме того, дифференцируемы в любой внутренней точки их области определения. В силу закона убывающей доходности (см п5 семинара) они должны быть вогнутыми. Убедимся в этом, рассмотрев функцию :

Отсюда в частности:

При достаточно малых (придостаточно больших ) величина будет достаточно малой, тогда из последнего неравенства получаем , то есть– невозрастающая функция, и значит – вогнутая.

Более того, существует такое число , что в области функция будет строго вогнутой. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что ф-цияявляется убывающей для достаточно больших . Предположим противное; тогда найдется отрезок, где const. Тогда, ф-цияна промежутке будет линейной, и, как следствие,

Cдругойстороны, согласно закону об убывающей доходности, для достаточно больших при любых должно быть строгое неравенство. Показанное противоречие доказывает неравенство.

Возможные Графики Y(L) изображены на рисунке«ромашка».

Замечание. Функции , не обязаны быть строго вогнутыми при достаточно больших значениях аргументов, если они не являются возрастающими. Так например функция, изображенная на рисунке «тапочек» соответствует закону об убывающей доходности.

Вопрос о построении производственных функций не входит в нашу цель. Отметим лишь, что часто рассматривают производственные функции следующих видов:

· ФункцияКобба-Дугласа:

· Функция с постоянной эластичностью замены: