ВВЕДЕНИЕ

Тема «Комплксные числа» – важнейший раздел математики. Ещё в шестидесятых годах прошлого века этот материал входил в обязательную программу среднего образования и был традиционным разделом стандартных учебников А.П.Киселёва[1] по алгебре для 8 – 10 классов средней школы. В результате последующих реформ раздел «Комплексные числа» был изъят из обязательной программы средней школы, и обязанность знакомить с этой темой перешла в основном к высшей школе, в программе которой часы на такую тему не были предусмотрены. Это изменение в структуре школьного обучения было довольно скоро осознано как серьёзная педагогическая ошибка, и тогда стали делаться попытки как-то исправить этот досадный огрех, поскольку отсутствие представлений о комплексных числах не только заметно обедняет математическую культуру молодого человека; эти пред-ставления необходимы для продолжения образования в высшей школе. Например, тема «Комплексные числа» излагается сейчас на трёх с половиною страницах современного широко распространённого учебника по алгебре для 8 классов Ш.А.Алимова и др., но помечена как необязательная. В выходящем с 2004 года учебнике «Алгебра и начала анализа» для 11 классов Ю.М.Колягина[2] и др. [5] этой теме была уже посвящена целая глава (Глава III «Комплексные числа» на двадцати восьми страницах) и там отмечены как необязательные уже только два параграфа.

Тема «Комплексные числа» невелика по объёму, и, как вполне доступная для школьников, не должна представлять особых трудностей и для студентов первого курса. Конечно, имело бы смысл ознакомиться сразу со всеми формами представления комплексных чисел, однако, для введения показательной формы комплексного числа необходимо знание фундаментальной формулы Эйлера[3], связывающей экспоненциальную функцию с двумя тригонометрическими (синусом и косинусом). Строгое доказательство формулы Эйлера базируется на материале, который по времени изучается значительно позже темы «Комплексные числа». Поэтому в разделе «Показательная форма комплексного числа» настоящего пособия упомянутая зависимость приводится с доказательством, где строгость в некоторой степени приносится в жертву наглядности. Это сделано для того, чтобы излагаемый материал был доступен студентам первого курса. Строгое доказательство формулы Эйлера приведено в последующих двух параграфах уже с расчётом на знания второкурсника.

К сожалению, при реформе программы по математике для средней школы творцы её перестройки выбросили из обязательной программы и раздел «Бином Ньютона[4]», а студенту – первокурснику знать его совершенно необходимо. Это формула имеет вид:

(1),

где = и n! (читается «эн-факториа́л») – означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, причём 0! = 1.

В § 4 дан пример нахождения корней уравнения вида Zⁿ+ а = 0. Этот пример специально подобран с такой целью, чтобы облегчить студентам решение самой популярной задачи из данного раздела курса математики.

В первом параграфе пособия «Понятие комплексного числа» даны минимальные сведения для представления о комплексных числах[5]. Более обстоятельное изложение истории «изобретения» комплексных чисел и приобщения их к использованию в теории и на практике дано в параграфе «Краткая историческая справка» в конце пособия. Этот параграф отмечен символом «*», как необязательный.

В качестве основного руководства для ознакомления студентов с комплексными числами может быть рекомендована Глава VI «Комплексные числа» в первой части учебника Д.Т.Письменного [9]. Представляет также интерес первая часть двухтомного курса Н.С.Пискунова [8] в силу широкой распространённости этого учебника, но может быть использован и любой другой учебник для ВУЗов, имеющий раздел «Комплексные числа» (например, глава 15 в учебнике Н.Ш.Кремера «Высшая математика для экономических специальностей»). Полезно ознакомиться с разделом 3.4.2 в справочнике И.Н.Бронштейна и К.А.Семендяева [1].

На сегодняшний день библиография по теме «Комплексные числа» весьма обширна. Но интересующимся можно порекомендовать обратить внимание на оригинальный подход к изложению этой темы в разделе «Алгебра» в книге Р.Фейнмана[6] и др. [10 (Глава 22) ].

Освоение темы «Комплексные числа» по настоящему пособию потребует в общей сложности примерно около 12 – 15 часов самостоятельной работы.

Нумерация формул в пособии – сквозная.