Підстановки одного степеня називаються подібними, якщо існує підстановка , така, що .

Подібні підстановки

Корені з підстановок.

Знаком (характером) підстановки називається значення .

Можна показати, що якщо підстановка ступеня N розкладається в добуток r попарно незалежних циклів (включаючи й одночленні цикли) то її можна представити у вигляді добутку n-r транспозиций. Величина називається декрементом підстановки.

Запис підстановки у виді добутку незалежних циклів називається циклічним записом.

Найбільш простим циклом, очевидно, є підстановка, що переставляє місцями тільки два елементи. Такий двочленний цикл називається транспозицією. Транспозиції не обов'язково є незалежними циклами.

Підстановка називається регулярною,якщо її циклічний запис складається з циклів рівної довжини.

Підстановка називається повноцикловою,якщо її цикловий запис складається з одного циклу.

Підстановка називається парною (непарною)якщо її декремент парний (непарний) відповідно.

У загальному випадку визначник матриці порядку над полемвиражається як знакозмінна сума всіх членів визначника, що відповідають підстановкам групи : .

Визначення. Степенем довільної підстановки називається -кратний добуток підстановки саму на себе.

Для запису в цикловому виді досить кожен цикл підстановки перетворити в такий спосіб.

Нехай , . Вибираємо елементи з кроком , починаючи з кожного скажемо, першого, елемента поточного циклу. Записуємо їх послідовно. При першому повторенні серед обраних елементів закриваємо результуючий цикл. Якщо символи вхідного циклу не вичерпані, вибираємо один з елементів, що не входять у результуючий цикл і діємо аналогічно. Після вибору всіх елементів циклу, переходимо до наступну циклу вхідної підстановки.

Примітка. Вибір елементів із кроком , означає вибір елементів з номерами , і т.д., де - довжина відповідного циклу.

Отже, . Наступні цикли дають , . У підсумку, .

Задача знаходження , виходячи з , не однозначна. Елементи циклу в цикловому записі вхідної підстановки могли знаходитися в будь-якому місці і бути до того ж циклічно зсунуті.

Єдине, що відомо, це відстань між елементами, тобто вони були розташовані у вхідній підстановці як , або .

Для добування коренів ступеня з підстановок необхідно враховувати усі варіанти можливого взаємного розташування елементів циклів, що залежить від , і довжин циклів вхідної підстановки.

Рівняння відносно називається рівнянням подоби.

Цикловою структурою підстановки називається запис виду , де - кількість різних довжин циклів у циклічному записі підстановки, довжина одного з її циклів, а - кількість циклів довжини , що входять у підстановку.