Група підстановок.

Многочлен називається мінімальним многочленом матриці відносно вектора . Мінімальний многочлен єдиний.

Теорема. Степень мінімального многочлена матриці не перевершує її порядку.

Теорема. Мінімальний многочлен матриці ділить будь-який анулюючий многочлен тієї ж матриці.

Визначення. Мінімальним многочленом матриці над полем називається нормований многочлен найменшого ступеня, для якого .

Визначення. Анулюючим многочленом матриці називається многочлен , такий, .

Анулюючий і мінімальний многочлен матриці над полем

Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли .

Розглянемо випадок, коли матриця порядку визначена над полем .

Розглянемо всі підстановочних матриць порядку . Уявимо собі, що кожна з них записана у виді таблиці на окремому листі папера у клітинку. Проріжемо у кожній таблиці віконця у тих клітинках, де елементи відповідної матриці дорівнюють одиниці. Одержимо, таким чином, сукупність підстановок у виді трафаретів.

Накладемо кожен трафарет на матрицю і перемножимо всі елементи, що у віконцях з'явилися матриці A. Результат назвемо членом визначника матриці, що відповідає підстановці .

Знайдемо суму над полем усіх членів визначника. Результат назвемо визначником матриці над полем .

Многочленом від матриці над полем називається результат послідовності операцій, записаної у формі многочлена з коефіцієнтами з поля , при .

Розглянемо послідовність , , , - мірних векторів.

На кожнім кроці будемо перевіряти, чи є система отриманих векторів залежної, або ні. На деякому кроці , вектори уперше виявляться лінійно залежними, тобто при деяких коефіцієнтах виконається співвідношення .

Теорема.Мінімальний многочлен суми векторів є найменшим спільним кратним мінімальних многочленів векторів - доданків.

Теорема.Мінімальний многочлен матриці відностно будь-якого вектора ділить мінімальний многочлен матриці.

Нехай - квадратна матриця над скінченним полем і . Послідовність , , є періодичною. Довжина періоду залежить від властивостей мінімального многочлена матриці відностно вектора .

Очевидно, найменше спільне кратне мінімальних многочленів базисних векторів відносно матриці є мінімальним многочленом цієї матриці.

Можна розглядати матриці, елементами яких є функції, скажемо, від змінної . У цьому випадку визначник матриці також є функцією від .

Многочлен називається характеристичним многочленом матриці .

Теорема Гамильтона-Кэли.Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.