Підстановкою порядку на множині з елементів називається взаємно однозначне відображення множині на себе.

Підстановочні матриці. Визначник матриці над .

У загальному випадку елемент матриці визначається як , де - рядок матриці з номером , а - стовпець матриці з номером .

Лінійні перетворення і матриці над полем.

Відображення : називається лінійним оператором з у , якщо виконуються наступні умови.

, , , .

Матрицею розміру над полем називається прямокутна таблиця, що складається з рядків і стовпців і містить елементів з .

Елемент матриці індексуються номером рядка та стовпця , на перетину яких він знаходиться.

Транспонуванням матриці розміру називається операція побудови матриці (інше позначення - ) розміру , де .

Сумою матриць і розміру називається матриця , де . Множення матриці на константу виконується покомпонентно.

Лінійною формою над кільцем з вектором змінних і коефіцієнтами , називається функція . Для лінійної форми часто використовується позначення . Зауважимо, що можливий випадок , при .

Добуток матриці розміру на матрицю розміру визначено лише у випадку, коли і .

В окремому випадку множення матриці-рядка на матрицю-стовпець , результат визначається як (тобто, при цьому розглядається як вектор).

Рангом матриці називається ранг системи її векторів-стовпців.

Теорема. Ранг матриці дорівнює рангу системи її векторів-рядків.

Матриця розміру називається квадратною, якщо . Число стовпців квадратної матриці називається її порядком. Діагоналлю з номером квадратної матриці порядку називається підмножина її елементів виду , . При , діагональ називається головною, всі інші діагоналі називаються побічними.

Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.

Нулем є матриця , що складається з усіх нулів. Одиницею - матриця , у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.

Множення квадратної матриці порядку на матрицю-стовпець можна розглядати як операцію над векторами. Така операція є лінійним перетворенням - мірного векторного простору. Матриця називається оборотною, якщо вона здійснює взаємно однозначне перетворення.

Нехай - оборотна матриця. Матрицею, оберненою до , називається матриця , для якої виконуються умови .

Нехай упорядковано, тоді йому відповідає послідовність номерів . Після застосування підстановки порядок розташування елементів зміниться і прийме вигляд .

Підстановку можна представити у виді дворядкового запису: . Очевидно, зворотне перетворення має вигляд .

Розглянемо квадратну матрицю порядку , у якої елементи з індексами дорівнюють одиниці, а інші дорівнюють нулеві. Наприклад, для підстановки , одержимо .

Очевидно, , тобто матриця реалізує задану підстановку. Виходячи з визначення підстановки, підстановочні матриці оборотні. Якщо матриця -підстановочна, то .

Критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці над полем є елементом поля . Він є функцією всіх елементів матриці і позначається через . Детермінант записується також у виді .