Вектори і лінійні форми. Базис лінійного простору.
Приклад гамування за модулем 26.
Шифри гамування
Розрізняють два види гамування - модульне і табличне.
При модульному гамуваннісимволи алфавіту відкритого тексту, попередньо замінені на числа, складаються за модулем з елементами деякої числової послідовності, що називається гамою. Гама є ключом. Кількість знаків в алфавіті називається модулем гаммирования.
При табличному гамуванні, перед зашифруванням формується двохрядковий запис, де в одному рядку послідовно виписано знаки відкритого тексту, а в іншій - відповідні знаки гами. Кожному знакові відкритого тексту відповідає свій знак гами, тобто вони утворюють вертикальні біграми знаків. Вертикальні біграми заміняються на знаки шифротекста за допомогою таблиці таблиці. Для реалізації взаємно однозначного перетворення, така таблиця має бути так званим «латинським квадратом», тобто будь-який її рядок, і будь-який стовпець повинні являти собою перестановку знаків заданого алфавіту (або чисел від 1 до m). Таким чином, в кожнім стовпці і рядку даної таблиці всі елементи мають бути різні. Наприклад, для m=5:
Розташуємо латинський алфавіт у порядку , , , , , де числа означають номера букв в алфавіті. Нехай відкритий текст є , , і гама дорівнює , , .
Складемо відповідні номери букв за модулем 26. В результаті шифрування одержимо: , , .
Довжина ключа (гами), у загальному випадку, дорівнює довжині відкритого тексту. Оскільки послідовність знаків гами може породжуватися за деяким алгоритмом, то гама може визначатися деяким допоміжним ключом, довжина якого істотно менше довжини відкритого тексту, зокрема, гама може мати малий період, а також інші особливості.
Для повідомлень, представлених у виді послідовностей битов, застосовується гамування за модулем два, при якому гама звичайно є псевдовипадковою послідовністью двійкових розрядів.
Лінійним векторним простором над полем називається множина , елементи якої називаються векторами і для якого виконуються наступні аксіоми.
1.На множині задане додавання - бінарна комутативна операція, тобто : . Результат додавання називається сумою.
2.Додавання векторів асоціативно.
3.На множині задане множення векторів на елементи поля , тобто відображення виду , , .
При цьому, і .
4.Існування нульового вектора: .
5.Існування протилежного вектора: .
6. .
Лінійною комбінацієювекторів , з коефіцієнтами називається вектор .
Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність можлива в тім і тільки тім випадку, коли .
Лінійно незалежна підсистема системи векторів називається максимальною, якщо при введенні до неї будь-якого вектора із системи, система стає лінійно залежною. Кількість векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі називається рангом відповідної системи векторів.
Лінійний векторний простір називається скінченновимірним, якщо в ньому існує максимальна лінійно незалежна система, що складається зі скінченного числа векторів.
Розглянемо множину , елементами якої є упорядковані послідовності елементів поля . Відносно покомпонентной суми і покомпонентного множення на елемент поля , побудована множина є лінійним векторним простором над і позначається . Очевидно, система , де , а одиниця знаходиться на -ому місці, є максимальною лінійно незалежною системою. Можна показати, що всі приналежні максимальні лінійно незалежні системи складаються з однакового числа елементів.
Базисом лінійного векторного простору називається система векторів така, що будь-який вектор простору однозначно представляється у виді лінійної комбінації векторів базису.
Очевидно, базис є максимальною лінійно незалежною підсистемою всього простору.
Будь-яке скінченновимірний лінійний простір над полем F єізоморфним при деякому .
Кількість векторів у базисі називається розмірністю лінійного векторного простору . Розмірність простору позначається . Якщо , то лінійний векторний простір називається - вимірним.