Корені поліномів і формули Вієта

НСД і НСК чисел і многочленів над полем .

Числа 1,2,3,…називаються натуральними. Число 0, а також числа виду , де натуральне число, називаються цілими числами. Відношення двох цілих чисел називається раціональним дробом і є записом результату ділення одного числа на інше. Ділення на нуль не визначено.Множина раціональних дробів є полем. Позначення - .

Простим числом називається натуральне число, у якого є точно два нерівних натуральних дільники.

Основна теорема арифметики: кожне натуральне число єдиним, з точністю до порядку співмножників, чином представляється у виді добутку ступенів простих чисел.

Найбільшим спільним дільником двох цілих чисел і називається найбільше ціле число, що поділяє як так і . Позначення: або НСД . Якщо НСД , то числа і називаються взаємно простими.

Найменшим спільним кратним натуральних чисел і називається найменше натуральне число, НОК , що ділиться як на так і на .

Очевидно, НОК .

Алгоритм Евклида для визначення НСД двох натуральних чисел . Основну роль грає операція ділення чисел із залишком, тобто представлення виду , .

Запишемо числа . Знайдемо залишок від ділення на , запишемо його слідом за : . В отриманому списку розглянемо останні два числа.

Знайдемо залишок від ділення першого з них на друге: , допишемо в список: . Діємо далі аналогічно, поки вперше (на -ому кроці) не виникне ситуація, коли . Тоді .

Схема алгоритму Евклида для многочленів і над полем .

Операція ділення із залишком відповідає запису виду , . Якщо вперше на -ому кроці виявляється, що , процес обчислення залишків від ділення зупиняється і .

Полином може розглядатися не тільки як функція, але і як запис деякої послідовності дій над перемінною .

Не виключено, що зазначена послідовність дій може бути виконана з об'єктом, що не належить полю , але при цьому операції в полі необхідно інтерпретувати як більш складні.

Виявляєтся, що відповідним чином узгоджуються операції у полі і його підполі. Обчислення значення полінома можна проводити не тільки для змінних , але й для об'єктів, що належать розширенню цього поля.

Означення. Коренем многочлена називається елемент , що належить якому-небудь розширенню , такий, що .

Теорема. Існує розширення поля , у якому заданий нормований многочлен представляється як добуток з співмножників: , де - корені многочлена .

Наслідок. Незвідний над полем многочлен не має коренів у цьому полі.

Із заданим коренем можуть співпадати кілька інших коренів. Кількість усіх коренів рівних називається кратністю кореня .

Означення. Кратністю кореня многочлена називається число , таке, що ділиться на , але не ділиться на .

Теорема (Ф. Вієт). Нехай - нормований многочлен над полем , а - його корені.

Тоді мають місце наступні співвідношення (Формули Вієта):