Многочлени над полем.

Полем називається комутативне кільце, для будь-якого ненульового елемента якого існує обернений.

Поля.

Кільця

Асоціативним кільцем називається множина з двома операціями, що називаються додаванням і множенням і для яких виконуються наступні аксіоми.

1.Ассоциативнось додавання: .

2. Коммутативность додавання: .

3. Можливість розв'язання рівняння для усіх .

4. Ассоциативнось для множення: .

5. Дистрибутивность при множенні зліва: .

6. Дистрибутивность при множенні зправа: .

Звичайно під назвою «кільце» розуміється асоціативне кільце.

Кільце називається неасоціативним, якщо операція множення не є асоціативною. Кільце називається комутативним, якщо коммутативна операція множення.

У кільці існує нуль - одиничний елемент відносно додавання. Одиничний елемент відносно множення, з властивістю , не обов'язково існує.

Прикладом комутативного кільця без одиниці є множина парних чисел зі звичайними операціями додавання і множення.

У кільці з одиницею можливе існування елемента , оберненого до елемента , з умовою . Такі елементи називаються оборотними.

Множина оборотних елементів кільця з одиницею складає групу - т.зв. мультиплікативну групу кільця. Мультиплікативна група кільця називається групою одиниць і позначається або .

Прикладом комутативного кільця з одиницею є множин цілих чисел. Група одиниць цього кільця складається з двох елементів: .

Зауваження. Нехай . Тоді діленням елемента на елемент називається операція .

Приклади: поле раціональних дробів , дійсних чисел і поле комплексних чисел . Очевидно, . Говорять, що є підполем (крім того, підполем поля ). З іншого боку, поля і називаються надполями або розширеннями поля .

Поле, що не є надполем ні для яких підполей називається простим (наприклад, поле - простуе).

Існують поля, що складаються із скінченного числа елементів. Такі поля називаються полями Галуа. Виявляється, число елементів скінченного поля завжди є степенем деякого простого числа : . Поле Галуа, що складається з елементів, позначається або . Оскільки мультиплікативна група поля складається з елемента, то , .

Адитивна група поля має фундаментальну особливість: результат додавання будь-якого елемента поля раз самим із собою дорівнює нулю. Число називається характеристикою поля, якщо сума, що складається з одиниць дорівнює нулю і - мінімальне число з такою властивістю. Характеристика поля позначається .

Адитивній групі поля такої властивості не має. У подібних випадках характеристика поля вважається рівною нулю.

Многочлен над полем - це функція виду , де , . Ціле число називається степенем многочлена і позначається .

Аналогічно визначається многочлен над комутативним кільцем. Множина усіх многочленів від однієї змінної над комутативним кільцем також є кільцем.

Якщо , по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Многочлен називається дільником многочлена , якщо існує многочлен , такий, що , .

Спільним дільником двох многочленів називається многочлен, що ділить обидва зазначені многочлени.

Тому дільники многочленів визначаються з точністю до константи.

Найбільшим спільним дільником двох многочленів називається многочлен , такий, що для будь-який загальний дільник многочленів і ділить .

Звичайно, в якості вибирається нормований многочлен.

Визначення. Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться тільки на константи і сам на себе.