Аксіоми групи.

Моноїд , всі елементи якого оборотні, називається групою.

Групи

Множина із заданою на ній бінарною асоціативною операцією називається півгрупою.

Півгрупи і моноїды.

Множини з алгебраїчними операціями.

Алгебраїчні структури і многочлени над полем.

Пристрій шифрування скітала (V-IV вв. до н.е., Греція).

За описом Плутарха, пристрій складалося з двох ціпків однакової довжини і товщини. Ці ціпки називали скиталами. Скіталы зберігалися у кореспондентів. Для передачі повідомлення вирізували довгого і вузьку смугу папірусу, намотували неї на свою скіталу, не залишаючи на ній ніякого проміжку, так щоб смугою була охоплена уся поверхня ціпка.

Текст писали уздовж осі, знімали смугу і без ціпка відправляли адресатові. Тому що букви на ній розкидані довільно, то прочитати написане можна було тільки за допомогою скітали відповідного діаметру, намотавши на неї без пропусків смугу папірусу. Таким чином, діаметр скитали був секретним параметром.

Нехай - довільна множина. Бінарною (двомістною) алгебраїчною операцією (або законом композиції) на називається відображення (правило) , що будь-якій упорядкованій парі ставить у відповідність визначений елемент множині . Замість пишуть . Часто бінарну операцію позначають спеціальним символом: *, °, ⋅ або +. На множині може бути задано кілька різних операцій. Бажаючи виділити одну з них, скажемо, і говорять, що операція визначає на алгебраїчну структуру.

Бінарна операція на множині називається асоціативною, якщо для усіх . Вона також називається комутативною, якщо .Ті ж самі назви використовуються для позначення відповідних властивостей алгебраїчної структури .

Елемент називається одиничним (або нейтральним) відносно розглянутої бінарної операції , якщо для усіх . Якщо - ще один одиничний елемент, то .

Моноїдомназивається напівгрупа з одиничним елементом .

Елемент моноида називається оборотним, якщо знайдеться елемент , для якого . Обернений до позначається через . Обернений елемент єдиний: . Запис операції у виді називається мультиплікативною.

1. на множині визначена бінарна операція ;

2. операція асоціативна;

3. в множині відносно існує нейтральний елемент;

4. для кожного існує зворотний.

Кількість елементів скінченої групи називається її порядком.

Підмножина , групи називається підгрупою групи , якщо також є групою. Аналогічно визначаються підструктури інших алгебраїчних структур.

Теорема (Лагранж). Порядок скінченої групи ділиться на порядок будь-якої її підгрупи.

Група називається комутативною (абелевою) якщо . Абелевы групи виду називаються адитивними.Для запис позначає: . Аналогічним образом,: .

Групи і гомоморфні, якщо існує відображення , таке, що . Відображення називається гомоморфізмом груп. Ядром гомоморфізму називається множина , що є прообразом одиниці . Групи й ізоморфні, якщо існує гомоморфізм з у , причому відображення є взаємно однозначним. Відображення є автоморфізмомгрупи , якщо відображення - ізоморфізм. Відображення є эндоморфизмом групи , якщо відображення -гомоморфізм.