Усеченное нормальное распределение

Классическое нормальное распределение

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.

Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

(1)

где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:

где ₀ , - оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 1.

Выясним смысл параметров Т₀ и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, чтоТ₀ является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T₀) выражение (1) не меняется. При t = Т₀ ПРО достигает своего максимума

Рис.6.1

При сдвиге Т₀ влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т₀ является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО.

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S.

Изменение графиков P(t) и (t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т₀ = const приведено на рис. 6.2.

Рис. 6.2

Используя полученные ранее (главы 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и (t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц.

С этой целью перейдем от случайной величины T к некоей случайной величине

(2)

распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения

(3)

Выражение (3) описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Функция распределения случайной величины X запишется

(4)

а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x) .

В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т₀)/S.

Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:

f(t) = f(x)/S;	(5)
Q(t) = F(x);	(6)
P(t) = 1 - F(x);	(7)
(t) = f(x)/S(1 - F(x)).	(8)

В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:

(9)

Очевидно, что F(x) связана с (x) следующим образом:

(10)

Как и всякая функция распределения, функция (x) обладает свойствами:

(x)(- ) = -0,5; (x)() = 0,5; (x)(-x) = - (x) .

В литературе могут встретиться и другие выражения для (x), поэтому, какой записью (x) пользоваться – это дело вкуса.

Показатели надежности объекта можно определить через (x), используя выражения (5) – (8) и (10):

Q(t) = 0,5 + (x) ;	(11)
P(t) = 0,5 - (x) ;	(12)
(t) = f(x)/S(0,5 - (x)) .	(13)

Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т₀ и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t.

Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта.

Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения.

Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Обозначим:

t_p– значение наработки, соответствующее ВБР P;

x_p – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P.

Тогда из уравнения связи x и t:

при x = x_p ; t = t_p, получаем

t_p= Т₀ + x_p S.

t_p, x_p – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P.

Значения квантилей x_p приводятся в справочной литературе для P 0,5.

При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение

x_p = - x_1-p .

Например, при P = 0,3

x_0,3 = - x_{1- 0,3} = - x_{0, 7}

Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t₂] наработки определяется:

(14)

где x₁ = (t₁ - Т₀)/S , x₂ = (t₂ - Т₀)/S .

Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - и распространяется до t = .

Это не является существенным недостатком, если Т₀ >> S, поскольку по (14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т₀ - 3S < T < Т₀ + 3S} 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т₀ > 3S, находятся на участке Т₀ ± 3S.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ) и используется усеченное нормальное распределение.

Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки, достигается при Т₀ 3S.

При малых значениях Т₀ и большом S, может возникать ситуация, когда ПРО f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 4).

Рис.6.4

Таким образом, нормальное распределение являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (- ; ), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надежности.

Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального, при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа.

В общем случае усечение может быть:

· левым – (0; );

· двусторонним – (t₁ , t₂).

Смысл усеченного нормального распределения (УНР) рассмотрен для случая ограничения случайной величины наработки интервалом (t₁ , t₂).

Плотность УНР (t) = c f(t) ,

где

c – нормирующий множитель, определяемый из условия, что площадь под кривой (t) равна 1, т. е.

Откуда

где

Применяя переход от случайной величины Т = {t} к величине X = {x}:

x₂ = (t₂ – Т₀)/S ; x₁ = (t₁ – Т₀)/S ,

получается

поэтому нормирующий множитель c равен:

Поскольку [(x)(x₂) - (x)(x₁)] < 1, то c > 1, поэтому (t)> f(t). Кривая (t) выше, чем f(t), т. к. площади под кривыми (t) и f(t) одинаковы и равны 1 (рис. 5).

Рис. 6.5

Показатели безотказности для УНР в диапазоне (t₁ , t₂):

УНР для положительной наработки до отказа – диапазон (0; ) имеет ПРО

(t) = c₀ f(t) ,

где c₀ – нормирующий множитель определяется из условия:

и равен (аналогично предыдущему):

Показатели безотказности УНР (0; )

Изменение нормирующего множителя c₀ в зависимости от отношения Т₀ /S приведено на рис. 6.

Рис. 6.6.

При Т₀ = S, Т₀ / S = 1 c₀ = max ( 1,2) .

При Т₀ / S 2,5 c₀ = 1,0, т.е. (t)(t) = f(t) .

Контрольные вопросы и задачи:

1. Объясните почему распределение Гаусса называется нормальным?

2. Поясните на изменении кривой плотности распределения отказов влияние параметров распределения: матожидания и дисперсии?

3. Приведите расчетные выражения для показателей безотказности, определенные через табличные функции: f(x), F(x) и (x)?

4. При каких условиях корректно использовать классическое нормальное распределение, и в каких случаях целесообразно применять усеченные нормальные распределения?

5. Приведите расчетные выражения показателей безотказности для усеченного «слева» нормального распределения?

6. Наработка до отказа серийно выпускаемой детали распределена нормально с параметрами: Т₀ = M(T) = 104 час, S = S (T) = 250 час. Определить:

1) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [5000, 9000 час];

2) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [Т₀ - 3S, Т₀ + 3S];

3) вероятность того, что безотказно проработав до момента времени 5000 час, деталь безотказно проработает и до 9000 час?

Ответы: 1) 0.00003, 2) 0.9974, 3) 0.99997.

7. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика этой детали имеет нормальное распределение наработки с параметрами:

Т₀ = 4 · 103 час, S = 800 час. Определить интересующую конструктора прибора:

1) наработку до отказа, соответствующую 90% надежности детали;

2) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, лежащую в интервале [2.5 · 103, 3 · 103];

3) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, большую, чем 2.5 103 час?

Ответы: 1) 2974.4, 2) 0.0755, 3) 0.9699.

Глава 7.ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА: ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ, ЛОГНОРМАЛЬНЫЙ И ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ