Числовые характеристики безотказности невосстанавливаемых объектов

 

Рассмотренные выше функциональные показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) полностью описывают случайную величину наработки T = {t}. В то же время для решения ряда практических задач надежности бывает достаточно знать некоторые числовые характеристики этой случайной величины и, в первую очередь, среднюю наработку до отказа.

Статистическая оценка средней наработки до отказа

(1)

где ti – наработка до отказа i-го объекта.

При вероятностном определении средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание (МО) случайной величины T и определяется:

(2)

Используя выражение для плотности распределения отказов

и интегрирование по частям, можно преобразовать (2) к виду

(3)

с учетом того, что P(0) = 1, P() = 0.

Из (3) следует, что средняя наработка до отказа геометрически интерпретируется как площадь под кривой P(t) – рис.4.1.

 

Рис.4.1

 

Очевидно, что с увеличением выборки испытаний N средняя арифметическая наработка (оценка 0) сходится по вероятности с МО наработки до отказа.

МО наработки T0 означает математически ожидаемую наработку до отказа однотипных элементов, т. е. усредненную наработку до первого отказа.

На практике также представляют интерес условные средние наработки:

1) средняя полезная наработка () определенная при условии, что при достижении наработки t1 все оставшиеся работоспособными объекты снимаются с эксплуатации;

2) средняя продолжительность предстоящей работы () при условии, что объект безотказно работал на интервале (0, t1).

Причины использования этих показателей:

1. Высоконадежные объекты (элементы электронных схем), как правило, эксплуатируются меньший срок чем T0 (tэкс < T0), т. е. заменяются по причине морального старения раньше, чем успевают наработать T0.

2. Часто для указанных объектов сокращают период испытаний (проводят до наработок соответствующих их моральному старению), поэтому T0 в таком случае понимают как среднюю наработку, которая имела бы место в действительности, если бы ИО оставалась такой, какой она была в начальный период испытаний.

Средняя полезная наработка (по аналогии с T0):

Средняя продолжительность предстоящей работы

Графические понятия и T0|t > t1 иллюстрируются рис. 2.

Рис.4.2

В то же время средняя наработка не может полностью характеризовать безотказность объекта.

Так при равных средних наработках до отказа T0 надежность объектов 1 и 2 может весьма существенно различаться (рис. 3). Очевидно, что в виду большего рассеивания наработки до отказа (кривая ПРО f2 (t) ниже и шире), объект 2 менее надежен, чем объект 1.

Поэтому для оценки надежности объекта по величине 0 необходимо еще знать и показатель рассеивания случайной величины T = {t}, около средней наработки T0.

К числу показателей рассеивания относятся дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа.

Рис.4.3

 

Дисперсия случайной величины наработки:

- статистическая оценка

(4)

- вероятностное определение

(5)

СКО случайной величины наработки:

(6)

Средняя наработка до отказа T0 и СКО наработки S имеют размерность [ед. наработки], а дисперсия D - [ед. наработки 2].

 

Контрольные вопросы:

1. Поясните смысл уравнения связи показателей безотказности?

2. Дайте определение статистической оценки и вероятностного представления средней наработки до отказа?

3. Перечислите условные средние наработки до отказа и поясните необходимость их использования?

4. Дайте определение статистических оценок и вероятностного представления характеристик рассеивания случайной величины наработки.

Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ