Кривые Гильберта

На рис. 3.2 приведен пример кривых Гильберта.

Рис. 3.2. Кривые Гильберта

Этот узор состоит из суперпозиции пяти кривых. Три наложенные друг на друга кривые имеют форму Н₁, Н₂ и Н₃ (см. рис. 3.3.)

Рис. 3.3. Наложенные кривые

Н_i+1 получается соединением четырех экземпляров Н_i вдвое меньшего размера, повернутых соответствующим образом и "стянутых" вместе тремя прямыми линиями. Н₁ можно считать состоящей из четырех вхождений пустой Н₀, соединенных этими же тремя линиями. Кривая Н_i называется кривой Гильберта i‑го порядка в честь ее первооткрывателя Д.Гильберта.

Если каждая кривая Н_i состоит из четырех вдвое меньших Н_i-1 , то процедура для рисования Н_i будет включать четыре обращения для рисования Н_i-1, соответствующим образом повернутых и уменьшенных вдвое. Обозначим эти четыре части через А, В, С и D.

Это кривые Гильберта 1-го порядка.

Соединительные прямые будем обозначать стрелками, указывающими соответствующее направление. Будем предполагать, что направление задается целым параметром i как i·45 градусов.

Тогда получаем: при i = 0, при i = 2, при i = 4, при i =6.

Для построения A, B, С, D получается следующая схема рекурсий:

A: D A A B

B: C B B A

C: B C C D

D: A D D C

Кривые Гильберта 2-го порядка.

Для рисования линии будем использовать процедуру :
Line( i, s: integer), где i - направление, s - длина отрезка.

Используя эту процедуру, с помощью рекурсивных обращений напишем процедуру, соответствующую схеме А:

Аналогично составляются процедуры для В, С, D. Процедура А инициируется главной программой по одному разу для каждой из кривых Гильберта. Главная программа определяет начальную точку кривой, т.е. исходные координаты (x₀,y₀) и начальное значение длины отрезка u (желательно, чтобы u=2ⁿ).

Эта программа рисует кривые Гильберта 5-го порядка.