ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
ТЕМА №3
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Интегральное исчисление является составной частью математического анализа и применяется при решении многих задач химии, биологии именно в тех случаях, когда по известной производной требуется найти вид самой функции.
Цель занятия:
1. Научиться находить интегралы методом непосредственного интегрирования.
2. Научиться находить интегралы методом подстановки.
3. Научиться находить интегралы методом интегрирования по частям.
Процесс дифференцирования, т.е. нахождение производной или дифференциала функции, с физической точки зрения сводится к следующему: зная закон движения материальной системы, определить мгновенное значение скорости в данной точке траектории её движения. С геометрической точки зрения, этот процесс состоит в нахождении tga угла наклона касательной, проведённой к графику функции в данной точке.
Но часто ставится и обратная задача, т. е. необходимо определить закон движения материальной системы, зная её скорость, или по tga угла наклона касательной найти соответствующую функцию. Для решения этой задачи вводится понятие неопределённого интеграла, а сам процесс решения называется интегрированием.
Другими словами: если процесс дифференцирования состоит в нахождении производной данной функции, то процесс интегрирования - это нахождение функции по её производной или дифференциалу.
Найти интеграл значит найти первообразную функции F(х) и сложить её с произвольной постоянной интегрирования С:
.
Таким образом, каждый неопределенный интеграл имеет бесчисленное множество решений или семейство первообразных.
Функция F(x), имеющая функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции:
;
dF(x) = f(x) dx.
Неопределенный интеграл в общем виде записывается:
,
где ∫-знак неопределённого интеграла,
f(x) - подинтегральная функция,
f(x)dx - подинтегральное выражение,
F(x) – первообразная функция
С – произвольная постоянная интегрирования
F(x)+С–решение неопределенного интеграла или семейство первообразных.
2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции:
.
2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению:
.
3. Интеграл от дифференциала первообразной функции равен самой первообразной, сложенной с произвольной постоянной:
.
4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
; где а-const
5. Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:
.