Кратный интеграл : определение, т. существования, свойства.

Из интегрального и дифференциального исчислений ФОП известно, что

Пусть функция непрерывна в замкнутой области ó

(1)

Выполним «построения» и введем обозначения:

1. Разобьем произвольно область на части-«ячейки» . Обозначим :

Δ- числовая «мера ячейки»(n=2: Δ=ΔS_i – площадь; n≥3: Δ=ΔV_i –объем «ячейки»);
d_i – «диаметр ячейки»; d наиб.{d_i; i=1,2,..,N} – «диаметр разбиения»

2. Выберем в каждой «ячейке» произвольно «отмеченную» точку и вычислим в ней значение функции

Определение 1.1Множество «ячеек» и отмеченных в них точек назовем «разбиением области »: P_N={σ_i,ξ_i;i=1,2,..,N} , а операцию разбиений при d→0 и N→∞ «измельчением разбиений». Очевидно, что при измельчении разбиений все «ячейки»
«стягиваются в точку»

Определение 1.2 Сумма произведений значений функции в отмеченных точках на меру ячеек называется интегральной суммой для функцииf и разбиения P_N.

(2)

Определение 1.3Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм {} при измельчении разбиений, этот предел (число) называют n-кратным интегралом (двойным, тройным) от функции f по области, а «процедуру» нахождения этого интеграла – интегрированием ФНП, и пишут:

(3)