a_n=a₁+(n-1)d (1)

Доведення проведемо методом математичної індукції. Згідно з формулою (1)маємо a₂= a₂+2d

a₃= a₂+d= a₁+2d

Нехай має місце (1)для деякого nі доведемо її для n+1.

Згідно з означенням: a_n+1 =a_n+d.

Підставивши у цю рівність замість a_nйого значення з (1),одержимо:

a_n+1=a₁+(n-1)d+d= a₁+ndабо a_n+1=a₁+[(n+1)-1]d

Остання рівність – це формула (1) записана для n+1, яку й треба було довести.

2. Властивості арифметичної прогресії

Кожен член арифметичної прогресії a₁,a₂,a₃,…,a_n, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів, тобто

a_k =, k2 (2)

Дійсно, якщо a_k=a_k-1+d, a_k+1= a_k+d a_k=a_k-1 – d.

Сума цих рівностей дає: 2 a_k=a_k-1 + a_k+1звідки випливає формула (2).

Сума двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії, тобто

a_k + a_n-k+1 =a₁ + a_n , k2 (3)

Дійсно, a_k + a_n-k+1 =[ a₁+(k-1)d]+[ a₁+(n-k)d]=2a₁+(n-1)d;

a₁ + a_n=a₁+ a₁+ (n-1)d=2a₁+(n-1)d.

Праві частини цих рівностей співпадають, тому їх ліві частини рівні, тобто має місце рівняння(3) для k2.

Сума членів скінченої арифметично прогресії дорівнює добутку півсуми крайніх її членів на число всіх членів:

S_n= (4)

Для доведення цього твердження запишемо суму S_nарифметичної прогресії двома способами:

S_n = a₁ + a₂+…+ a_n-1+ a_n

S_n = a_n-1 + а_n+…+ a₂+ a₁

Додавши почленно ліву і праву частини, одержимо згідно формули (3):

2S_n = (a₁ + a_n)* n,

Звідки і випливає формула (4)

Наслідок. Якщо замістьa_nпідставити у формулу (4)його значення у вигляді (1), тоді одержимо другу формулу для суми членів арифметичної прогресії:

S_n = (5)

3. Поняття простих відсотків на капітал

Якщо сума коштів Рвкладена під R відсотків річних, то після першого року буде одержано прибуток величиною d=.

Якщо вкладення капіталу здійснюється під простий річний відсоток, тоді з кожним роком прибуток зростає на однакову величину. Тому послідовність значень капіталу буде Р, P+d, P+2d, P+3d,… тобто ці значення утворюють арифметичну прогресію.

Отже, величина капіталу Р,вкладеного під простий річний відсоток R,через n років буде a_n= P+n*d=P+n*= P(1+).

Наприклад, якщо вкладено 5000 гривень під простий річний відсоток 10%, тоді через 5 років вкладник матиме:

гривень.

4. Геометрична прогресія та складні відсотки

Означення. Геометричною прогресією називається послідовність, кожний наступний член якої дорівнює попередньому, помноженому на одне і те ж саме число q , яке називають знаменником прогресії. Геометричну прогресію позначають .

Згідно з означенням

(1)

Наприклад, 1,3,9,27,…- геометрична прогресія із знаменником q=3.

Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо і спадною, якщо .

Якщо кількість членів геометричної прогресії скінченна, то вона називається скінченною, у протилежному випадку вона називається нескінченою геометричною прогресією.

Методом математичної індукції можна довести, що загальний член геометричної прогресії знаходиться за формулою

(2)

5. Властивості геометричної прогресії

Будь-який член геометричної прогресії з додатним членом, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному двох сусідніх з ним членів:

(3)

Дійсно, за формулою (2) маємо

.

Бачимо, що обидві частини рівності (3) однакові.

Добутки членів скінченої геометричної прогресії, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою, тобто

(4)

Дійсно, ;

Отже, обидві частини рівності (4) однакові.

Сума членів скінченої геометричної прогресії може бути знайдена за формулою:

(5)

Для доведення цієї формули знайдемо

(6)

Помноживши обидві частини цієї рівності на q , одержимо

(7)

Віднімемо почленно з рівності (6) рівність (7), тоді одержимо

Тобто . З останньої рівності випливає формула (5).

Суму всіх членів спадної нескінченої прогресії знаходять за формулою

(8)

Доведення. Члени геометричної прогресії спадають, тому .

Розглянемо суму членів вказаної геометричної прогресії як границю скінченої геометричної прогресії. Тоді

Але, .Отже, , що і треба було довести.

6. Поняття складних відсотків на капітал

Припустимо, що вкладник надає банку 5000 гривень з умовою їх зростання кожного року на 10 складних відсотків. Це означає: кожного року величина капіталу, що знаходиться на рахунку вкладника у банку, повинна зростати на 10 відсотків.

Після першого року величина вкладення буде

гривень

Після другого року величина вкладення буде

,

А після n років величина вкладення буде .

Отже, величина капіталу з роками змінюється таким чином:

,

Тобто вона утворює геометричну прогресію із знаменником q=1,1 та першим членом b₁ = 5000.

Тому величина капіталу Р, що зростає кожного року на R складних відсотків, через n років приймає значення

(9)

У розглянутому вище випадку вкладник через 5 років буде володіти капіталом, який дорівнює:

(гривень),

А через 10 років капітал становитиме

(гривень)

(у випадку простого відсотка, згідно з прикладом розділу 3.2 величина вкладу через 5 років буде 7500 гривень)

Питання для самоконтролю

1. Арифметична прогресія та прості відсотки

2. Властивості арифметичної прогресії

3. Поняття простих відсотків та капітал

4. Геометрична прогресія та складні відсотки

5. Властивості геометричної прогресії

6. Поняття складних відсотків та капітал

Л Е К Ц І Я 36

Тема: Математика фінансів

Мета: сформувати поняття рахунків накопичення, розрахунків ренти, погашення боргу; застосування понять до розв’язування економічних задач.