Есеп мысалдары
1) Ұзындығы 10м темір сымға 6В кернеу түсірілген. Тоқтың тығыздығы қандай?
2) Егер электр шамының вольфрам қыл сымының температурасы 20000С, диаметрі 2*10–5 м, электр өрісінің кернеулігі 800 В/м болса, тоқ шамасы қандай болады?
3) Кедергісі 20 Ом резисторда тоқ 5 сағат уақыт ішінде 5 А-ден 15 А-ге дейін артты.Осы уақыт ішінде қанша жылу бөлініп шықты?
4) Егер никелин сымынан бөлініп шығатын меншікті жылулық қуат Р=10 Дж/м 3.с болса, тоқ тығыздығы қандай болады?
5) Э.қ.к- і 
=11В, 
=4В, 
=6В үш тоқ көзі кедергілері R1=5 Ом, R2=10 Ом, R3=20 Ом болатын реостаттармен суреттегідей қосылған. Тоқ көздерінің ішкі кедергілерін (r1=r2=r3=0) ескермей реостаттардағы тоқтарды анықтау керек.
6) Электр өрісінің кернеулігі E=20 В/м болғанда, тоқ тығыздығы ј=6,58*10 –6 А/м2 болатын ауададағы иондар концентрациясы қандай болады? Ион қозғалғыштығы U+0= 1,38*10-4м2/В.с және U-0=1,91*10-4м2/В.с. Иондар бір валентті.
7) Массасы 0,3кг сымның көлденең қимасының ауданы 0,1мм2. Кедергісі қандай болады?
8) Мыс сымның 100С температурадағы кедергісі 14,2Ом, 440С температурадағы кедергісі қандай болады?
9) Кедергісі 3 Ом алюминий сымы кедергісі 2 Ом темір сыммен тізбектей қосылған. Осы тізбектің температуралық кедергісі қандай болады? Алюминийдің температуралық коэффиценті 4,2 *10-3К –1, ал темірдікі –6*10-3К-1
10) Э.қ.к-і =1В, =2В, =3В тоқ көздері суретте көрсетілгендей қосылған. R1=10 Ом, R2=20 Ом, R3=30 Ом, R4=40 Ом. Тоқ көздерінің және қосатын сымдардың кедергісін ескермей R3 кедергідегі кернеуді анықтау керек.
11) Өткізгіштегі тоқ 4с. уақыт ішінде 0- ден 8 А-ге дейін артты. Өткізгіштің кедергісі 10 Ом . Өткізгіштен алғашқы 3с. уақыт ішінде бөлінген жылуды анықтау керек.
12) Ауадағы электр өрісінің кернеулігі 30 В/м, бір валентті иондар концентрациясы 1,2*106м-3. Ион қозғалғыштары U+0=1,4*10-4 , U-0=1,2*10-4.м 2 /В.с тоқ тығыздығы қандай болады?
3.3 Электромагниттік құбылыстар
3.3.1 Магнит өрісі
Магнит өрісі тұрақты магниттің және бойында тоғы бар өткізгіштің айналасында пайда болады. Оны бақылау үшін екі параллель өткізгіш алып, олардың бойымен бір бағытта тоқ жүргізілсін, сонда бұл өткізгіштер бір – біріне тартылады (3.3.1.1.а – сурет). Егер тоқтардың бағыты қарама – қарсы болса, өткізгіштер бір – бірінен тебіледі. (3.3.1.1.б – сурет).
а) б )
3.3.1.1. – сурет
Бұл құбылысты былай түсіндіруге болады. Әрбір өткізгіш өз айналасында магнит өрісін тудырады, осы өріс басқа тоққа әсер етеді. Магнит өрісінің тоққа әсері өткізгіштің формасына, оның орналасуына, тоқтың бағытына байланысты.
Электростатикада электр өрісін зерттеуде шамасы зарядтан қашықтығымен салыстырғанда өте аз болатын нүктелік “сыншы” зарядты пайдаланады. Ал магнит өрісін зерттегенде бойында тоғы бар рама алынады. Раманың геометриялық өлшемі тоғы бар өткізгіштен арақашықтықпен салыстырғанда өте кішкентай деп есептейміз. Тәжірибелер көрсеткендей осындай кішкентай рамалар бойында тоғы бар өткізгіштің жанында белгілі бағытқа бұрылады. Бұл магнит өрісі рамаға бағдарлаушы күшпен әсер ететіндігін көрсетеді. Бойында тоғы бар рамаға нормаль 
түсірілсін (3.3.1.2. – сурет).
3.3.1.2. – сурет
Сонда, бұранда ережесі бойынша рамадағы тоқ бағыты бұранданың айналу бағытын көрсетсе, бұранданың ілгерілеу бағыты 
нормальдің бағытын көрсетеді. Сыншы раманы магнит өрісіне әкелсе, онда сол нүктедегі өріс бағытын раманың оң бағыты көрсетеді. Егер раманы өріс пен нормальдің бағытына сәйкес келмейтіндей етіп бұрса, онда раманы бұрынғы қалпына келтіруге тырысатын айналдырушы момент пайда болады. Бұл момент рамадағы тоққа, оның ауданына және сол нүктедегі өріске пропорционал болады
(3.3.1.1) 
- тоғы бар раманың магниттік моменті
(3.3.1.2)
мұндағы І -рамадағы тоқ; S - раманың ауданы; – рама бетіне перпендикуляр түсірілген бірлік вектор (нормаль); 
– магнит индукциясының векторы, бағыты раманың оң нормалінің бағытымен бағыттас. 
(Тесла).
Егер магнит өрісінің берілген нүктесіне магниттік моменті әртүрлі рамаларды әкелсе, онда оларға әсер етуші айналдырушы моменттер әртүрлі болады, бірақ мына қатынас орындалады:
Магнит өрісінің кернеулігінің магнит индукциясы векторымен байланыстылығы мына формуламен анықталады
(3.3.1.3)
- магниттік тұрақты, м - ортаның магниттік өтімділігі делінеді.
3.3.2 Био – Савар – Лаплас заңы және оның тоқтардың магнит өрісін есептеуде қолдану
Француз оқымыстылары Био және Савар әртүрлі тоқтардың магнит өрістерін зерттеді. Олардың тәжірибелерінің нәтижелеріне талдау жасай отырып, Лаплас І тоғы бар шексіз ұзын өткізгіштің 
элементінің А нүктесіндегі өріс индукциясы мынадай болатындығын дәлелдеді: (3.3.2.1-сурет)
(3.3.2.1)
- бағыты тоқ бағытымен бағыттас элементар вектор, 
- мен өріс анықталатын А нүктесін қосатын вектор. 
векторының бағыты және жататын жазықтыққа перпендикуляр болады. -ның бағыты бұранда ережесі бойынша анықталады: бұранданың ілгерілеу бағыты тоқ бағытын көрсетсе, ал бұранданың сабының айналу бағыты – векторының бағытын көрсетеді.
3.3.2.1- сурет
– векторының модулі
(3.3.2.2)
формуласымен анықталады.
Био-Савар-Лаплас формуласын қолданып әртүрлі тоқтардың өрісін анықтауға болады.
1) Түзу тоқтың магнит өрісі
Бойында І тоғы бар шексіз түзу тоқтың А нүктесіндегі өрісін анықтайық. Ол үшін өткізгішті 
элементтерге бөлейік.
3.3.2.2-сурет
Өткізгіштен R қашықтықта орналасқан А нүктесіндегі элементінің өрісінің индукциясы (3.3.2.2) формуламен анықталады. Берілген нүктеде барлық элементтердің индукция бағыттары бірдей болады. Сондықтан, векторларының қосындысын олардың модульдерінің қосындысымен алмастыруға болады. (3.3.2.2) - суреттен
Осы шамаларды (3.3.2.2)-ға қойып
(3.3.2.3)
анықтаймыз. Өткізгіш шексіз ұзын болғанда 
-ның шамасы нольден р – ге дейін өзгереді. (3.3.2.3) формуласын интегралдап
(3.3.2.4)
теңдігін аламыз.
Егер өткізгіштің ұзындығы шекті болса (3.3.2.3-сурет), онда (3.3.2.4) формуласы мына түрде жазылады
(3.3.2.5) 
болғандықтан тоғы бар түзу өткізгіштің кернеулігі
(3.3.2.6)
Шексіз ұзын өткізгіштің өріс кернеулігі
(3.3.2.7)
болады. Кернеулік бірлігі: 
3.3.2.3-сурет
2) Дөңгелек тоқтардың өрісі.
Радиусы R дөңгелек контур бойымен І тоқ жүрісін (3.3.3.1- – сурет).
Дөңгелекті элементерге бөлейік. Дөңгелек контурдың кез-келген элементтері центрден бірдей r=R қашықтықта орналасады және R - элементіне перпендикуляр болғандықтан 
. Сонда (3.3.2.2) формуласы бойынша
3.3.2.4- сурет
бұл формуланы интегралдап
(3.3.2.8)
теңдігін аламыз.
Дөңгелек тоқтың центріндегі индукция векторының бағыты бұранда ережесі бойынша анықталады. Бұранданың ілгерілеу бағыты векторының бағытын, ал бұранданың сабының айналу бағыты тоқтың бағытын көрсетеді. (3.3.2.5-сурет).
3.3.2.5-сурет
3) Дөңгелек тоқтың өсіндегі магнит өрісі.
Дөңгелек тоқтың центрінен 
қашықтықта орналасқан А нүктесіндегі индукция векторын анықтайық (3.3.2.6-сурет).
3.3.2.6-суре
векторы мен r жатқан жазықтыққа перпендикуляр болады, ендеше dl және r аралығында бұрыш р/2 болады (sin 900=1). (3.3.2.2) формуласы бойынша
және 
dl1 = dl2 = dl және r1 = r2 = r десек, онда 
болады. векторының проекциясы және 
векторларының проекцияларының қосындысына тең, онда
және сурет бойынша 
болғандықтан
бұл теңдікті интегралдап
(3.3.2.9)
формуланы аламыз.
Магниттік моменттің 
екендігін ескергенде магнит индукциясы
(3.3.2.10)
болады. Сол кезде А нүктесіндегі өріс кернеулігі
(3.3.2.11)
өрнегімен анықталады.
3.3.3 Ампер заңы. Параллель тоқтардың өзара әсері
Магнит өрісінің бойында тоғы бар өткізгішке әсерін зерттей отырып, Ампер мынадай заңды тағайындады:.
(3.3.3.1)
Магнит өрісінде бойында тоғы бар өткізгіштің элементіне өріс тарапынан әсер етуші 
күш тоққа пропорционал және элементінің магнит индукциясымен векторлық көбейтіндісіне тең болады.
Әсер етуші күштің бағытын анықтайық. векторы және векторлары жасайтын жазықтыққа перпендикуляр болады және векторының аяғынан қарағанда векторының векторына қарай қысқа жолмен айналысы сағат тіліне қарсы болу керек (3.3.3.1– сурет).
3.3.3.1– сурет
– векторының модулі
(3.3.3.1)
мұнда – мен векторының арасындағы бұрыш. 
болғанда 
-тің бағыты сол қол ережесі бойынша анықталады. Ол үшін сол қолдың алақанына векторы кіретіндей етіп, ал төрт саусақты тоқтың бағытын көрсететіндей үстағанда, 900 – қа айқарылған бас бармақ өріс тарапынан өткізгішке әсер ететін күштің бағытын көрсетеді. Ампер заңы арқылы тоқтардың өзара әсерлесу күшін анықтауға болады. Екі параллель шексіз түзу бойымен бір бағытта тоқтар жүрсін дейік. Бірінші І1 тоқтың магнит өрісінің І2 тоқтың элементіне әсерін қарастырайық (3.3.3.2-сурет).
3.3.3.2-сурет
І1 тоқ өзінің маңында магнит өрісін тудырады. Өріс индукцияларының сызықтары концентрлі шеңберлер болады. І1 тоқтың магнит өрісінің индукциясы векторының бағыты бұранда ережесі бойынша анықталады. Ал модулі (3.3.2.4) формуласы бойынша
анықталады. Осы өрістің І2 тоқтың элементіне әсер етуші күші Ампер заңы бойынша 
болады, ал sin=1, өйткені векторы элементіне перпендикуляр. Ендеше осы формулаға 
– дің мәнін қойсақ
(3.3.3.2)
шығады.
Дәл осылайша қарастыра отырып І2 тоқтың өрісіндегі І1 тоқтың элементіне әсер ететін күшті анықтауға болады:
(3.3.3.3)
(3.3.3.2) және (3.3.3.3) формулаларды салыстырғанда 
екендігі шығады. Яғни, бағыттас параллель тоқтар бір-біріне тартылады. Тарту күші мына формуламен анықталады:
(3.3.3.4)
Өткізгіштің бір бірлік ұзындығана келетін күш
(3.3.3.5)
болады.
3.3.4 векторының циркуляциясы. Соленид пен тороидтың өрісі
Ваккумдегі магнит өрісі үшін толық тоқ заңы былай оқылады: векторының кез-келген тұйық контур бойынша циркуляциясы 
магниттік тұрақты мен осы контур қамтитын тоқтардың алгебралық қосындысына тең болады.
(3.3.4.1)
мұндағы 
- контур қамтитын тоғы бар өткізгіштердің саны. Әрбір тоқты контур неше рет қамтыса сонша рет есептеледі (3.3.4.1-сурет). Бұл суретте контур 
тоқты екі рет қамтиды.
3.3.4.1-сурет
Бұранда ережесі бойынша: бұранданың сабының айналу бағыты циркуляция бағытын көрсетсе, онда бұранданың ілгерілеу бағытындағы тоқ оң болады, ал ілгерілеу бағытына қарсы бағыттағы тоқ теріс болады.
(3.3.4.1)– суреті бойынша
(3.3.4.2)
Контур қамтымайтын болғандықтан І3=0 және І4 теріс болады. (3.3.4.2) формуласы ваккум үшін ғана дұрыс болады (м=1).
-ның циркуляциясы туралы теореманы пайдаланып индукция векторынын анықтау мысалдарын қарастырайық:
1) Тоғы бар шексіз өткізгіштің индукция векторы.
3.3.4.2-сурет
Тоқ сурет жазықтығына перпендикуляр және сурет жазықтығынан бізге қарай бағытталсын (3.3.4.2-сурет).
Контур радиусы r шеңбер болсын. Сонда веторының циркуляциясы
болады. (3.3.4.1) - бойынша
бұдан
түзу тоқтың магнит өрісінің индукциясының (3.3.2.4) формуласы шығады
2) Соленоидтың магнит өрісі.
3.3.4.3-сурет
Орам саны көп цилиндрлік катушканы соленоид деп атайды. Орам саны
, ұзындығы 
, бойында І тоғы бар соленоидты қарастырайық. Соленоидтің диаметрі (d<<) оның ұзындығынан көп кіші болсын дейік. Ондай соленоидты шексіз солениод дейді (3.3.4.3-сурет).
Солениод ішіндегі өріс бір текті, ал сыртында өріс әртекті және әлсіз болады. Магнит индукциясының бір сызығымен сәйкес келетін индукция векторының циркуляциясы
АВСДА контуры бойынша алынатын интегралды екіге бөліп жазуға болады:
өйткені соленоид сыртында 
(контурдың сыртқы бөлігі АВСД). -ның ДА бөлігіндегі циркуляциясы
Ендеше соленоид ішіндегі магнит өрісінің индукциясы
(3.3.4.3)
болады.
3) Тороидтың магнит өрісі.
Тороид деп тор формалы өзекке оралған сымды айтады (3.3.4.4 – сурет). Сонда тороид центрлері шеңбердің бойына орналасқан дөңгелек тоқтардың жүйесі болып табылады.
3.3.4.4 – сурет
Магнит өрісі тороидтың ішінде болады, ал сыртында өріс болмайды. Тороидтың ұзындығы 
болса, (3.3.4.3) формуласы бойынша тороидтың магнит өрісінің индукциясы
(3.3.4.4)
формуласымен анықталады.
3.3.5 Магнит өрісіндегі қозғалушы зарядқа әсер етуші күш.