Атты дене механикасы.
Есеп мысалдары
1. Айдан алыстағы жылдамдығы нөлше тең метеорит Ай бетіне қандай жылдамдықпен түседі?
2. Жер бетінен 100 км биіктіктегі дененің еркін түсу үдеуін табу керек.
3. Жер серігінің Жер бетінен орташа биіктігі 1700 км. Оның Жерді айналыс жылдамдығы мен айналу периоын анықтау керек.
4. Жер бетіндегі еркін түсу үдеуі 9,8 м/с2 және Жер мен Айдың арақашықтығы 3,84*105 км деп есептеп Айдағы айдың ұзақтығын есепте. Жердің радиусы - 6370 км.
5. Қандай да бір планетаның эваторында дененің жылдамдығы оның полюсіндегі жылдамдығынан екі есе кіші. Планетаның өз өсінен айналыс периоды 2сағат 27,5 минут болса, планетаның түзілген затының орташа тығыздығы қандай?
6. Жердің массамы М, радиусы R, айналыс периоды Т болса, массасы m жүкшенің экватордағы және 600 ендіктегі салмағы қандай?
7. Жер серігі экватор жазықтығында Жерден қарағанда орнынан қозғалмайтындай болып айналады. Оның Жерден қашықтығын және жылдамдығын анықтау керек. Жердің радиусы 6400 км.
1.5.1 Қатты дене материалық нүктелер жүйесі
Қатты дене деп материялық нүктелер жүйесін айтады..Қатты денелер абсолют қатты денелер және деформацияланатын денелер болып бөлінеді. Абсолют катты дене деп ешқандай күштің әсерінен деформацияланбайтын денені. яғни қозғалыс кезінде кез келген екі нүктесінің ара қашықтығы өзгермейтін денені айтады. Абсолют катты дене деген шартты ұғым. Табиғатта деформацияланбайтын дене болмайды, бірак түрлі зерттеулерді оңайлату үшін деформациясын ескермеуге болатын денелер болады.
Қатты дененің кеңістікте қозғалуының алты еркіндік дәрежесі бар – үш ілгерілемелі, үш айналмалы қозғалыстың еркіндік дәрежелері. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысын материалық нүкте қозғалысының теңдеуімен анықтауға болады. Қатты дененің ілгерілемелі козғалысы кезінде оны құрайтын материялық бөлшектердің жылдамдықтары, үдеулері бірдей болады. Қатты дененің айналмалы қозғалысы кезінде оның бөлшектері шеңберлер бойымен қозғалады. Шеңберлердің центрлері айналыс өсі деп аталатын түзудің бойында жатады. Осьте жатқан нүктелер қозғалмайды және шеңберлердің радиустары бірдей уақытта бірдей бұрышқа бұрылады. Қатты дененің айналмалы қозғалысын анықтайтын теңдеу моменттер теңдеуі деп аталады.
Қатты дененің кез-келген 
-нүктесі үшін Ньютонның II заңын былай жазуға болады
(1.5.1.1)
мұндағы 
- берілген нүктеге әсер ететін ішкі күштер; 
-берілген нүктеге әсер ететін сыртқы күштер.
Тұтас дене үшін қосынды алынады:
мұндағы ішкі күштер қосындысы 
,
- сыртқы күштер косындысы, 
- дененің массасы. Осы шамаларды (1.5.1.1) формулаға қойғанда
(1.5.1.2)
қатты дененің ілгерілемелі козғалыс теңдеуі шығады.
Қатты дененің айналмалы қозғалысының заңдылығын зерттеу үшін мысал ретінде материялык нүкте қозғалысын қарастырайық. Материялық нүкте радиусы 
шеңбер бойымен қозғалсын.
Материялык нүктеге тұрақты күш 
әсер етсін.
1.5.1.1-сурет
Сурет бойынша
(1.5.1.3)
Екінші жағынан
(1.5.1.4)
(1.5.1.3) және (1.5.1.4) формулалары бойынша
(1.5.1.5)
(1.5.1.5) формуланың екі жағын да -ға көбейтейік
(1.5.1.6)
О нүктесінен күшке түсірілген перпендикулярдың ұзындығы 
;
- күш моменті; 
инерция моменті.
Айналыс центрі О нүктесіне қатысты инерция моменті масса мен нүктенің айналыс центрінен қашықтығының квадратының көбейтіндісіне тең болады. Сонымен нүкте үшін айналмалы қозғалыстың негізгі теңдеуі
болады.
Қатты дененің айналысын зерттеу үшін оның әр бөлшегі үшін (1.5.1.6) формуласын қолданайық (1.5.1.2-сурет):
1.5.1.2-сурет
Ал тұтас дене үшін бұлардан қосынды алғанда:
- қатты дененің айналыс өсіне қатысты инерция моменті;
–айналыс осіне қатысты күш моменті.
Сонымен, қатты дене үшін айналмалы қозғалыстың негізгі теңдеуін мына түрде жазамыз
(1.5.1.7)
яғни, айналыс өсіне қатысты күш моменті дененің инерция моменті мен бүрыштық үдеудің көбейтіндісіне тең болады.
1.5.2 Кейбір денелердің инерция моменттерін есептеу
а) Сақинаның инерция моменті (1.5.2.1- сурет).
I .5.2.1-сурет
Массасы 
радиусы R сақинаның ОО' өсіне катысты инерция моментін аныктайық. Ол үшін сақинаны 
бөліктерге бөлейік.
Әрбір бөлшектің инерция моменті
(1.5.2.1)
Тұтас сақинаның инерция моменті :
мұнда 
- сақинаның массасы.
Ендеше сақинаның инерция моменті
(1.5.2.2)
б) бітеу цилиндрдің (дискінің) ОО'- өсіне катысты инерция моменті.
Дискінің биіктігі 
, радиусы , массасы болсын.
1.5.2.2- сурет
Дискіні концентрлі сақиналарға бөлейік. Әр сақинаның инерция моменті
(1.5.2.3)
болады, мұндағы dm - сақина массасы.
(1.5.2.4)
- сақинаның калындығы; һ- сақинаның биіктігі; 
- сақинаның ішкі радиусы.
(1.5.2.4) формуланы (1.5.2.3) формулаға қойып, интегралдап, дискінің инерция моментін аныктаймыз:
мұнда 
- дискінің массасы. Осы өрнекті ескеріп дискінің өске қатысты инерция моментін анықтауға болады:
(1.5.2.5)
в) айналыс өсі ортасы аркылы өтетеін темір өзектің инерция моменті. (1.5.2.3- сурет).
1.5.2.3- сурет
(1.5.2.6)
мұнда - стержень массасы; 
- өзектің ұзындығы; оо' - айналыс өсі.
д) айналыс өсі стерженьнің үшы арқылы өтетін өзектің инерция моменті (1.5.2.4 -сурет).
1.5.2.4-сурет
(1.5.2.7)
е) айналыс өсі шардың центрі аркылы өтетін шардың инерция моменті
(1.5.2.8)
мұнда - шардың радиусы.