Построение модели парной линейной регрессии

Прогнозировать изучаемые процессы можно с помощью регрессионных моделей. Наиболее простая из них – это модель парной линейной регрессии, которая имеет следующий вид:

(3.14),

где b₀ – свободный член уравнения, отражающий влияние всех неучтенных факторов; b₁ – коэффициент при факторе x.

Суть построения модели сводится к определению параметров уравнения (b₀, b₁). В Excel построение этой модели осуществляется следующим образом.

1. Команда СЕРВИС – АНАЛИЗ ДАННЫХ – РЕГРЕССИЯ

2. Ввести параметры окна (рис. 47).

3. ОК

Рис. 47. Ввод параметров окна при построении парной регрессии.

Наиболее наглядно сравнение наблюдаемых значений и полученных с помощью модели иллюстрируется графиком подбора (рис. 48).

Рис. 48. Соотношение модельных и эмпирических значений Y.

Уравнение регрессии записывается на основе таблицы 2.

Таблица 2

Параметры регрессионного уравнения

В данном случае регрессионное уравнение будет иметь вид:

(3.15)

Интерпретировать это уравнение можно следующим образом: при увеличении среднедушевых инвестиций в экономику региона на 1 руб. (Х), среднедушевые доходы населения (Y) возрастут в среднем на 8 коп. при усредненном влиянии прочих факторов.

Качество модели в целом можно оценить множественным коэффициентом детерминации (R-квадрат), который для пары признаков Y и X равен:

(3.16)

Таким образом, можно сделать вывод, что 41% изменчивости результативного признака Y объясняется изменчивостью признака X, то есть доля объясненной дисперсии результативного признака (Y) фактором (Х) равна 41%, что является достаточно хорошим результатом, учитывая однофакторность модели.

Этот результат подтверждается данными табл. 3, где в строке R-квадрат показано число 0,41, при умножении которого на 100 получаем множественный коэффициент детерминации.

Таблица 3

Учитывая стохастическую природу построенной модели, необходимо оценить полученное уравнение регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера, а статистическую значимость его параметров - с помощью t-критерия Стьюдента.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

(3.17).

Для вычисления , согласно формуле (3.17), составим таблицу, фрагмент которой показан на рис.49 в режиме формул и рис. 50 в режиме значений. Здесь в столбце J определяется сумма абсолютных относительных ошибок, а в ячейке К25 – сама средняя относительная ошибка аппроксимации.

Рис. 49. Фрагмент таблицы расчета средней относительной ошибки аппроксимации в режиме формул

Рис. 50. Фрагмент таблицы расчета средней относительной ошибки аппроксимации в режиме значений

В нашем примере , т.к. значения средней относительной ошибки аппроксимации немногим более 20%, то можно точность уравнения определить как недостаточно высокую. В этом случае возникает вопрос, какие регионы имеют наибольшее отклонение от среднестатистического уровня, определенного с помощью модели . Осуществим эту задачу с помощью автофильтра.

Решим задачу: определить первых пять регионов, имеющих наибольшее отклонение значений моделируемого признака от среднестатистического.

Решение. 1. В результате построения регрессионной модели имеем таблицу остатков (рис. 51).

Рис.51. Таблица остатков

2. Выделяем ее и назначаем режим автофильтра: Данные – Фильтр - Автофильтр.

3. В поле Остатки назначаем режим Первые 10 …,вводим соответствующие параметры (рис. 52):

Рис.52. Назначение условий поиска

В результате получаем пять субъектов Федерации, имеющих наибольшее положительное отклонение от среднестатистического значения (рис. 53), т.е. в рамках построенной модели у этих регионов среднедушевые доходы необоснованно высоки.

Рис. 53. Субъекты федерации, у которых высокие уровни среднедушевых доходов не обусловлены существующим уровнем инвестиционной активности

Список же регионов с высоким потенциалом уровня среднедушевых доходов получим, выбрав условие «Первые пять – наименьших» (рис. 54).

Рис. 54. . Субъекты федерации, у которых согласно построенной модели уровни среднедушевых доходов должны быть выше при существующем уровне инвестиционной активности

Если же остаток равен нулю, то уровень среднедушевых доходов в регионе соответствует среднестатистическому в рамках построенной модели. Однако такой случай в приведенном примере не наблюдался. Наибольшее соответствие эмпирического значения среднедушевых доходов с оценкой, полученной с помощью модели, у Ярославской области.

Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера-Снедокора. Прежде всего, выдвигается гипотеза Н₀ о том, что уравнение в целом статистически незначимо, при конкурирующей гипотезе Н₁: уравнение в целом статистически значимо. Расчетное значение критерия находится по формуле:

. (3.18)

Для уравнения парной регрессии p = 1.

Пример получения количественной оценки F-критерия, согласно формуле (3.18), показан в таблице (рис. 55).

Рис.55. Фрагмент таблицы для расчета количественной оценки F-критерия в режиме формул

В режиме значений таблица получения количественной оценки F-критерия показана на рис. 56.

Рис.55. Фрагмент таблицы для расчета количественной оценки F-критерия

в режиме значений

Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α и двум числам степеней свободы (k₁ = p = 1 и k₂ = n – p – 1 = 79 – 1 – 1=77):

.

Если F_расч<F_табл, то гипотеза Н₀ принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5%).

Для уравнения (3.15) F_расч = 54,1, то есть неравенство не выполняется, следовательно, гипотеза Н₀ отвергается. Делаем вывод, что построенная регрессионная модель в целом статистически значима.

Кроме оценки статистической модели в целом, необходимо проверить статистическую значимость оценок всех параметров (b₀, b₁) линейного уравнения. Осуществляется это с помощью t‑критерия Стъюдента.

Выдвигается гипотеза Н₀: параметр b_j = 0 (j = 0, 1) (статистически незначим, случайно отличается от 0), при конкурирующей гипотезе Н₁: параметр b_j ≠ 0 (статистически значим, неслучайно отличается от 0). Находится расчетное значение критерия Стъюдента:

,

где средняя квадратическая ошибка для параметра b₀ равна

,

а для параметра b₁:

.

Расчет этих оценок показан в таблице в режиме формул на рис.56, а в режиме значений на рис. 57.

Рис. 56. Фрагмент таблицы в режиме формул для расчета средних квадратических ошибок для параметров b₀ и b₁

Рис. 57. Фрагмент таблицы в режиме значений для расчета средних квадратических ошибок для параметров b₀ и b₁

Зная m_i , можно определить расчетное значение критерия Стъюдента:

для b₀ :

для b₁ :

Теоретическое значение критерия t_табл находится по таблице критических значений распределения Стъюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n – p – 1. Если t_bj > t_табл , то гипотеза Н₀ отвергается с вероятность ошибки α , т.е. оценка коэффициента регрессии b_j признается статистически значимой, в противном случае (t_bj < t_табл) - незначимой.

Табличное значение критерия для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы k = n – 2 = 79-2=77 равно:

Найдем доверительные интервалы для параметров b₀ и b₁ уравнения (1).

∆b₀= t_табл·m_b0=2,0*311,15=622,30;

∆b₁ = t_табл·m_b1 =2,0*0,0106325=0,021265.

Следовательно, нижняя граница доверительного интервала для b₀ равна:

3873,8379 – 622,3 = 3251,54

Верхняя граница доверительного интервала для b₀ равна:

3873,8379 + 622,3 = 4496,14

нижняя граница доверительного интервала для b₁ равна:

0,07820692– 0,021265 = 0,0569

Верхняя граница доверительного интервала для b₁ равна:

0,07820692+ 0,021265 = 0,099

Таблица 4

Проверка критерия Стъюдента

	Уравнение регрессии
Параметр уравнения bj	Среднеквадратическая ошибка параметра	Расчетное значение критерия	Табличное значение критерия tтабл	Вывод о статистической значимости	Границы доверительных интервалов
левая	правая
b0	311,15	12,45	2,0	значима	3251,54	4496,14
b1	0,0106	7,36	значима	0,0569	0,099

В результате проверки на статистическую значимость уравнения в целом, а также каждого его параметра можно сделать вывод о статистической его значимости, то есть построенная модель адекватно отражает рассматриваемое явление.