Решение

а) используя определение степени вершины, выясним, какие степени имеют вершины А и В. Вершина А имеет степень 3, так как 3 – число ребер, ей инцидентных. Аналогично, и вершина В имеет степень 3.

б) используем алгоритм решения задачи о нахождении кратчайшего пути из А в В в смысле наименьшего количества ребер:

1. Вершине А припишем индекс 0.

2. Всем вершинам, смежным с А, припишем индекс 1.

3. Всем вершинам, смежным с вершинами индекса 1 и не имеющим индекса, припишем индекс 2 и т.д.

4. Как только вершина В получит некоторый индекс, процесс останавливаем (даже если остались непронумерованные вершины).

Итак, (рис.8)

Следовательно, n = 2 – длина кратчайшего пути. Построим этот путь.

5. Среди вершин, смежных с В, обязательно найдется вершина с индексом (n – 1) (одна или несколько), возвращаемся в эту вершину и продолжаем этот процесс.

6. Через n шагов придем в вершину с индексом 0, т.е. в А. Один или несколько путей построены.

Итак, (рис. 9).

Если каждому ребру (дуге) графа приписано некоторое число ( вес ребра), то граф называется взвешенным (нагруженным).

Задача 3. Найти кратчайший путь из А в В во взвешенном графе (в смысле суммы весов ребер (дуг)).

Рассмотрим следующий алгоритм решения задачи 3.

Будем постепенно приписывать всем вершинам графа числовые индексы:

1. Вершине А припишем индекс 0, всем остальным вершинам приписываем значение + .

Замечание: в реальных программах в роли + используется любое большое число, заведомо большее суммы всех весов рёбер.

2. Будем постоянно перебирать все пары смежных вершин х и у, каждый раз проверяя неравенство . Если оно выполняется, то уменьшаем индекс , заменив его на (рис.10).

y

Рис.10

3. Процесс останавливаем, когда ни один индекс уже нельзя уменьшить. В этот момент вершина В имеет некий индекс . Это и есть наименьшая сумма весов всех дуг.

4. Построим путь с такой суммой. Будем возвращаться из вершины В в А. Среди вершин, смежных с В, обязательно найдётся вершина С, для которой выполняется точное равенство (если бы , то индекс можно было бы ещё уменьшить, если бы для всех смежных вершин, то непонятно, откуда взялся индекс .)

Возвращаемся к С и повторяем процесс. Поскольку индексы всё время уменьшаются, то через несколько шагов придём в вершину с индексом 0, т.е. в вершину А.

Задача.Задан граф.

а) превратить его во взвешенный граф с помощью набора данных (веса на горизонтальных ребрах отмечены буквой X, на вертикальных ребрах – буквой Y);

б) найти кратчайший путь (или пути) из вершины А в вершину В.

X: 9331 4359 7162 5571 8352;

Y: 7716 6529 2618 6823 9721.