Властивості визначників.

Розглянемо властивості визначників на прикладі визначників третього порядку, хоча всі ці властивості мають місце для визначників будь-якого порядку.

1) Визначник не зміниться, якщо замінити його рядки стовпцями з тим самим номером (таке перетворення називається транспонуванням):

=.

Доводиться перевіркою за допомогою формули (1.4). Ця властивість встановлює рівноправність рядків і стовпців визначника. Тому кожна властивість визначника, яка має місце для його рядків, буде справедливою і для стовпців.

2) Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці) визначника, то його знак зміниться на протилежний. Наприклад,

= – .

Доведення – перевіркою за допомогою формули (1.4).

Властивості 1 і 2 дозволяють обґрунтувати твердження про те, що обчислення визначника можна здійснювати розкладанням його за елементами будь-якого рядка чи стовпця, тобто формулу (1.4) можна узагальнити так:

, (1.5)

де або – будь-яке з чисел (визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення).

3) Визначник, який має два однакових рядки (стовпці) дорівнює нулю.

Справді, якщо у визначника два однакових рядки (стовпці) то помінявши їх місцями, ми змінимо знак визначника на протилежний (властивість 2), водночас сам визначник не зміниться, тобто

, звідки і .

4) Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Наприклад,

=.

Для доведення досить розкласти визначник за елементами другого стовпця і винести спільний множник за дужки. З властивості 4 випливає, що коли всі елементи деякого рядка (стовпця) – нулі, то й визначник дорівнює нулю.

5) Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Це випливає з властивостей 4 і 3. За властивістю 4 спільний множник елементів цих рядків можна винести за знак визначника, внаслідок чого отри-маємо визначник з двома однаковими рядками, рівний нулю за властивістю 3.

6) Якщо кожний елемент -го рядка (-го стовпця) є сума двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, один з яких у -му рядку (-му стовпці) містить перші із згаданих доданків, а інший – другі; елементи, які стоять на решті місць, у всіх трьох визначників одні й ті ж. Наприклад,

=+.

Для доведення достатньо розкласти ці визначники за елементами відповідного рядка (стовпця) і переконатися в рівності лівої і правої частин.

7) Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого його рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те ж число.

Ця властивість випливає з властивостей 3, 4, 6. Наприклад, нехай

і

Тоді

=+=.

8) Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Справді, сума елементів, наприклад, -го рядка на алгебраїчні доповнення відповідних елементів -го рядка: є згідно з формулою (1.5) розкладанням визначника, в якому -й та -й рядки однакові і який за властивістю 3 дорівнює нулю.

Властивість 8 дозволяє записати формулу (1.5) у вигляді:

(1.6)

Зауважимо, що використання властивостей визначника, зокрема властивості 7, часто дозволяє спростити його обчислення.

Приклад. Обчислити визначник .

Цей визначник уже розглядався вище. Користуючись властивістю 7, додамо до елементів другого стовпця елементи першого, помножені на , а до елементів третього стовпця елементи першого, помножені на :

==

.

Як бачимо, обчислення істотно спростилися порівняно з безпосереднім розкладанням визначника.