Кут між двома прямими. Кут між прямою і площиною

1. Кут між двома прямими:

і

,

як і кут між двома площинами, визначається кутом між їх напрямними векторами і таким чином:

.

Тоді за формулою (2.20) з п.2.5:

. (3.23)

Умовою паралельності прямих є умова колінеарності їх напрямних векторів:

. (3.24)

Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх напрямних векторів:

. (3.25)

2. Кут між прямою і площиною.

Визначається як не тупий кут між цією прямою і її проекцією на площину (кут j на рис.3.10). Нехай площину (Р) задано загальним рівнянням

(Р): ,

а пряму (l) – канонічними рівняннями

.

Якщо напрямний вектор прямої і нормальний вектор площини напрямлені в той самий півпростір відносно заданої площини (Р), то

.

Якщо ж вектори і напрямлені в різні півпростори відносно площини (Р), то

,

тому що . Отже, в усіх випадках . Таким чином кут між прямою (l) і площиною (Р) можна визначити за формулою

. (3.26)

Умовою паралельності прямої і площини є умова ортогональності напрямного вектора прямої і нормального вектора площини:

. (3.27)

Умовою перпендикулярності прямої і площини є умова колінеарності напрямного вектора прямої і нормального вектора площини:

. (3.28)

Приклад 1. Знайти кут між прямими

і

.

Розв’язання.Кут між двома прямими визначається кутом між їх напрямними векторами. Для прямої (l₁) координати напрямного вектора відомі з її канонічних рівнянь: , для прямої (l₂) – з параметричних: .

Тоді за формулою (3.23)

.

Таким чином

.

Приклад 2.Визначити величину кута між прямою

і площиною

.

Розв’язання.Випишемо напрямний вектор заданої прямої (l) . Знаючи крім того нормальний вектор площини (Р), знаходимо за формулою (3.26):

,

звідки

.