Предметный указатель 3 страница

Таблица П18. Результат решения задачи методом Монте-Карло

Пример содержания отчета по лабораторной работе №6 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с противником»

1. Исходные данные:

Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных товаров используется 15 видов ресурсов. Рассматривалась проблема недостаточности дохода предприятия. Требуется определить программу производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми данными, которые использовались при выполнении работы №2. Рассмотрена задача с одним неопределенным параметром , принимающим только два возможных значения при выборе противником соответственно стратегий и . Случайным параметром в условиях неопределенности принята цена товара 1. Предположено, что данных о законе распределения случайного параметра нет. Выдвинута гипотеза о том, что в результате возможных действий противника (конкурента) цена товара 1 может принимать два значения .

2. Решение:

Найдены два оптимальных решения и , с учетом двух возможных и предполагаемых нами стратегий противника и соответствующие выражениям

Полученные решения и представляют собой наши оптимальные действия (стратегии) и в том случае, когда мы угадали дальнейшее развитие событий. Решение с ценой представлено в таблице П19.

Таблица П19. Решение при

Решение с ценой представлено в таблице П20.

Таблица П20. Решение при

Рассчитаны значения показателя эффективности при условии, что мы не угадали ответ противника

Таким образом, рассчитаны все элементы платежной матрицы (таблица П21), где строки и представляют собой наши возможные стратегии, а столбцы и возможные стратегии противника, и отдельно записаны соответствующие им решения :

Таблица П21. Платежная матрица задачи при играх с противником

Стратегии
	1034,812	1174,125
	1017,46	1373,469

Обозначим минимальный выигрыш при выборе стратегии при всех возможных стратегиях противника

.

По стратегии минимальный выигрыш составит , а по стратегии .

Из возможных наших стратегий по критерию Вальда (критерий "крайнего пессимизма) выбрана стратегия, которая обеспечивает нам наибольшее значение нашего минимального выигрыша:

.

Очевидно, что это будет стратегия .Нижняя цена игры (наш гарантированный выигрыш при любой стратегии противника).

В предположении, что противник вооружен теми же знаниями, которые использовали мы, определена наилучшая стратегия для него. Поскольку имеет место дуальная игра, наш выигрыш есть проигрыш противника.

Найден наш максимальный выигрыш при каждой стратегии противника

.

По стратегии максимальный выигрыш составит , а по стратегии . Для того, чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет стратегию, в которой наш выигрыш минимален:

.

Очевидно, что это будет стратегия _. Назовем выигрыш верхней ценой игры. Верхняя и нижняя цены игры совпадают, то есть мы получили чистую цену игры :

.

Стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются чистыми, а их совокупность дает оптимальное решение. Используя оптимальное решение, мы получаем минимальный гарантированный выигрыш независимо от поведения противника. Пара чистых стратегий и дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий им элемент является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Таким образом, имеется седловая точка.

3. Выводы:

Решение задачи соответствует стратегии и дает оптимальное решение {13,93; 3,20; 0; 5,39; 0,56; 0; 20,15; 0}.

Пример содержания отчета по лабораторной работе №7 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой»

1. Исходные данные

Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных товаров используется 15 видов ресурсов. Рассматривалась проблема недостаточности дохода предприятия. Требуется определить программу производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми данными, которые использовались при выполнении работы №2. Рассмотрена задача с одним неопределенным параметром , принимающим только два возможных значения при выборе природой соответственно стратегий и . Случайным параметром в условиях неопределенности принята цена товара 1. Предположено, что данных о законе распределения случайного параметра нет. Выдвинута гипотеза о том, что в результате возможных действий природы цена товара 1 может принимать два значения . Вероятности появления возможных состояний природы и заданы соответственно 0,35 и 0,65.

2. Решение:

Платежная матрица построена методом, использованным в лабораторной работе №6, и представлена в таблице П22. Использовали понятие риска

,

где наш риск при использовании стратегии в ответ на состояние природы , а - максимально возможный наш выигрыш при состоянии природы . Получили следующую матрицу риска (таблица П23):

Таблица П22. Платежная матрица задачи при играх с природой

Стратегии
	1034,812	1174,125
	1017,46	1373,469

Таблица П23. Матрица риска задачи при играх с природой

Риск
		199,3449
	17,35146

В качестве оптимальной выбрали стратегию, максимизирующую наш средний выигрыш с учетом заданных вероятностей появления возможных состояний природы:

.

По первой строке матрицы средний выигрыш равен:

;

.

Отсюда следует, что максимизирует средний выигрыш стратегия .

Подобным образом определили стратегию, минимизирующую средний риск:

;

.

Ясно, что минимизирует риск также стратегия .

Рассмотрели решение задачи по критерию Гурвица, для чего задались коэффициентом (здесь ‑ мера пессимизма Гурвица):

,

,

.

3. Выводы:

Если бы вероятности появления событий природы были бы неизвестны, то согласно максиминному критерию Вальда, должна быть выбрана стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем

.

Так же, как и в игре с противником, оптимальной становится стратегия и соответствующее ей решение {13,93; 3,20; 0; 5,39; 0,56; 0; 20,15; 0}.

Если учитывать вероятности появления событий природы, то по критерию минимаксного риска Сэвиджа выбирается стратегия и соответствующее ей решение {35,60; 2,72; 0; 2,95; 0; 0; 0; 0}, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации.

По критерию Гурвица при также оптимальной становится стратегия и соответствующее ей решение {35,60; 2,72; 0; 2,95; 0; 0; 0; 0}.

Пример содержания отчета по лабораторной работе №8 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой с экспериментами»

1. Исходные данные:

Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных товаров используется 15 видов ресурсов. Рассматривалась проблема недостаточности дохода предприятия. Требуется определить программу производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми данными, которые использовались при выполнении работы №2. Рассмотрена задача с одним неопределенным параметром , принимающим только два возможных значения при выборе природой соответственно стратегий и . Случайным параметром в условиях неопределенности принята цена товара 1. Предположено, что данных о законе распределения случайного параметра нет. Выдвинута гипотеза о том, что в результате возможных действий природы цена товара 1 может принимать два значения . Вероятности появления возможных состояний природы и заданы соответственно 0,35 и 0,65.

2. Решение.

Воспользовались результатами выполнения предыдущих работ и рассчитали платежную матрицу в предположении . Она имеет тот же вид, что и в игре с противником (таблица П24):

Таблица П24. Платежная матрица задачи при играх с природой с экспериментами

Стратегии
	1034,812	1174,125
	1017,46	1373,469

Учитывая тот факт, что вероятности появления возможных состояний природы и равны соответственно 0,35 и 0,65, провели расчеты по строкам платежной матрицы и получили следующие значения среднего выигрыша:

;

.

Отсюда следует, что средний выигрыш максимизирует стратегия , а его величина равна

.

Предположили, что стоимость проведения эксперимента , а в его результате удалось установить, что природа выберет стратегию . Как следствие, мы должны выбрать стратегию , которая обеспечивает наш максимальный выигрыш. Оценка среднего возможного выигрыша после проведения эксперимента имеет вид:

.

3. Выводы:

Поскольку , проведение эксперимента нецелесообразно. Условие целесообразности проведения эксперимента выполняется в том случае, когда .

Пример содержания отчета по лабораторной работе №9 «Решение многокритериальной задачи»

1. Исходные данные:

Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных товаров используется 15 видов ресурсов. Рассматривалась проблема недостаточности дохода предприятия. Требуется определить программу производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми данными, которые использовались при выполнении работы №2. Сформулированы дополнительные цели и критерии для решения задачи. Так, первой целью остается достижение максимального дохода. В качестве второй и третьей цели рассматривается максимизация использования ресурсов 5 и 8. Стремление к максимизации расхода указанных ресурсов оправданно, поскольку из имеющегося количества ресурса 5, составляющего 320 единиц, используется 31,7 единиц, а для ресурса 8 из 490 единиц используется 9,1 единиц.

2. Решение:

Первоначально была решена задача оптимизации по каждому локальному критерию. Решение по критерию 1 (максимизация дохода) представлено в таблице П25, а расход ресурсов в таблице П26:

Таблица П25. Оптимальный выпуск продукции по критерию 1

Таблица П26. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 1

Расчеты по критерию 2 представлены в таблицах П27 и П28:

Таблица П27. Оптимальный выпуск продукции по критерию 2

Таблица П28. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 2

Расчеты по критерию 3 представлены в таблицах П29 и П30: