Лабораторная работа №2. Решение однокритериальной статической задачи в условиях определенности

Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях определенности

Математическая классификация задач разработки управленческого решения

Классификация задачи разработки управленческого решения представляет собой процедуру ее анализа с выделением существенных классифицирующих признаков. В литературе, в частности в [13], предложен большой набор классифицирующих признаков. К их числу относятся:

· природа и специфика способа воздействия на объект управления: решения политические, экономические, технические, конструкторские, технологические и т.п.;

· объект решения: ориентированные на цель (постановочные) или на средства или структурные (основополагающие) решения или процессуальные (ситуационные) решения;

· надежность исходной информации;

· связь с планирующей иерархией: стратегические, тактические и оперативные решения;

· повторяемость: одноразовые, случайные решения, повторяющиеся решения;

· достаточность: общие и специализированные решения;

· вид процесса принятия решения: объединенные и последовательные решения;

· количество решений, встречающихся в процессе процедуры принятия решения: статические и динамические, одноступенчатые и многоступенчатые;

· лицо, принимающее решение: единоличные, индивидуальные, групповые, коллективные решения;

· организационное распределение решений: централизованные и децентрализованные решения;

· взаимная зависимость - независимость;

· автономные и дополняющие друг друга решения;

· учет изменения данных: жесткие и гибкие решения;

· эффективность: неэффективные, рациональные, оптимальные решения;

· приемлемость последствий: приемлемые и неприемлемые для объектов управления и (или) внешней среды;

· возможность реализации: реализуемые и нереализуемые ;

· степень риска: допустимый, критический, катастрофический риски;

· ответственность: юридическая (уголовная или гражданская), социальная, моральная;

· объект управления: система (системотехнические решения) и процесс (исследование операций);

· характер эффективности использования ресурсов и технологий: ординарные (обычные), синергические или асинергические.

Очевидно, что приведенный перечень далеко не полон и может пополняться при дальнейшем развитии теории менеджмента и принятия решения. Приведенная классификация позволяет определенным образом структурировать практические задачи и унифицировать методы их решения. Однако приведенный перечень классификационных признаков вряд ли когда-то будет полностью описан соответствующими математическими выражениями.

В то же время, для создания компьютерных систем поддержки принятия решения необходим математически формализованный подход к видам управленческих задач. Определенную ясность в этот вопрос вносят естественнонаучные дисциплины, расширение методов которых на другие области знаний позволяет создать методику разработки управленческого решения [14]. В этом смысле чрезвычайно полезной оказывается классификация, предложенная в работе [3], где вводятся (рис. 16) следующие классифицирующие признаки:

· количество критериев: однокритериальные и многокритериальные;

· зависимость параметров от времени: статические и динамические;

· уровень данных: определенность, риск, неопределенность.

Указанная классификация, распространяясь на большинство возможных видов задач разработки решений, позволяет относительно несложно отыскать раздел математической теории, использование которого позволило бы грамотно решить соответствующую задачу. Отметим, что классификация рис. 16 предусматривает целую палитру математических методов, общие названия которых также приведены на рис. 16 в нижнем ярусе иерархии.

При решении практических задач следует учесть, что универсальным методом, пригодным для всех случаев жизни, являются экспертные процедуры. Люди интуитивно пришли к этому методу, собирая старейшин, организуя вече, думы, конгрессы, советы и другие органы для решения важных вопросов своей жизни. Много усилий было положено и на разработку способов обработки мнений, высказанных экспертами, уточнения процедур голосования и т.п. Родившись первоначально как чисто эмпирическое мероприятие, экспертные процедуры стали пополняться строгим математическим содержанием, позволяющим, в том числе, определить степень компетентности или пристрастия эксперта, уточнить результаты экспертизы по предварительным итогам и т.п. Являясь внешне очень простым и естественным методом, экспертные процедуры могут использоваться для решения любых задач разработки управленческого решения, то есть по существу становятся универсальным инструментом исследователя, выручающим его всякий раз, когда ему неизвестно, что делать. Основным недостатком экспертных процедур является принципиальная невозможность получения на их основе оптимального решения. Невозможно доказать, что принятое в результате экспертизы решение является наилучшим или (что одно и тоже) нет решения данного вопроса лучшего, чем принятое.

Разработке оптимальных решений посвящено большое число математических методов, в частности перечисленных на рис. 16. Их изучение позволяет получить решения более высокого качества, чем даваемое экспертными процедурами. В то же время на математические решения накладывается большое число ограничений, что часто существенно сужает возможности решения задачи, а в некоторых случаях делает их решение невозможным. Искусство исследователя, разрабатывающего управленческое решение, заключается в правильном выборе модели решаемой задачи и, как следствие метода ее решения.

При изучении дисциплины предлагается первоначально идти обратным путем: из всего множества реальных или возможных задач разработки управленческого решения сначала выделить оптимальные задачи, решаемые наиболее исследованными математическими методами. На примере таких задач можно изучить методологию их постановки и формулирования, освоить методы их решения, и на этой базе расширять круг возможных задач и методов решения, доходя в конечном итоге до задач в условиях неопределенностей концептуального характера, то есть до задач, в которых отсутствуют выраженные цели, ограничения и связи. Следует отметить, что специалист обязан уметь решать прямую задачу, то есть классифицировать проблему в соответствии с предложенными признаками и выбрать метод решения на основе результата классификации.

Альтернативы в задачах экономики и менеджмента сводится к различным вариантам использования ресурсов. К числу таких ресурсов можно отнести материальные, финансовые, людские и время. Время относится к особой категории ресурсов, расходом которых управлять невозможно. Однокритериальная статическая задача управленческого решения в условиях определенности – это задача с набором из независящих от времени контролируемых параметров (параметров, которыми можно управлять в интересах решающего задачу) ; набором из не зависящих от времени ограничений ; набором не зависящих от времени неконтролируемых параметров, которые определяются условием задачи , , ; с одним не зависящим от времени критерием . Формальная математическая запись однокритериальной статической задачи в условиях определенности имеет вид:

Решение такой задачи – это одна из альтернатив . Она может быть выбрана случайно (случайное решение). Если набор таких альтернатив был заранее разработан, то, выбирая наилучшую из них по значению критериальной функции, мы имеем рациональное решение. Наконец, если мы можем воспользоваться оптимальным методом, то метод и должен автоматически определить наилучшую альтернативу из числа возможных. В этом случае будет обеспечено оптимальное (максимальное или минимальное) значение критерия при заданных значениях неконтролируемых параметров.

Очевидно, что случайные решения мало кого устраивают. При разработке рациональных решений перед принятием решения (выбором альтернативы) нам необходимо провести работу по разработке набора альтернатив, удовлетворяющих ограничениям задачи. В зависимости от конкретной задачи для выполнения такой работы нам может потребоваться достаточно много усилий, например, разработать несколько альтернативных проектов. Очень часто так и приходится поступать. В то же время, в нашем случае основной интерес представляет процесс выбора, а не разработки альтернативы. Поэтому для лучшего понимания метода нам было бы удобно генерировать альтернативы автоматически, что позволяют оптимальные методы. В принципе, мы можем воспользоваться любым известным нам оптимальным методом поиска экстремума функции. Поэтому для определенности для изучения способов решения однокритериальной статической задачи управленческого решения воспользуемся методами математического программирования.

Рис. 16. Математическая классификация задач принятия решения

Задача Л.В. Канторовича (1, 2), рассматриваемая применительно к экономике и менеджменту, получила название производственной задачи или задачи распределения ресурсов. Действительно, если уравнение (1) описывает доход или прибыль от производственной деятельности, а выражения (2) описывают расход имеющихся принятых во внимание ресурсов, которые необходимы для осуществления производственной деятельности, то решение этой задачи позволяет получить оптимальную по критерию дохода или прибыли программу выпуска продукции . Полученное в этом случае максимальное значение целевой функции есть ни что иное, как максимально возможный доход или прибыль, которые можно получить в конкретной ситуации. Таким образом, для постановки этой задачи необходимо придать конкретный смысл неконтролируемым параметрам , и . Например, значения могут быть отпускными ценами соответствующих наименований продукции, значения - это коэффициенты расхода ресурса на выпуск единицы продукции соответствующего вида, а ‑ это наличие соответствующего ресурса.

Примечание. В задаче, решенной в процессе выполнения лабораторной работы номер 1, исходные данные были сформированы от датчика случайных чисел. Полученное решение математически является оптимальным, но оно никак не может быть интерпретировано по отношению к какой либо практической задаче. Если выбрать практическую задачу, решаемую методом линейного или математического программирования, и задать значения неконтролируемых параметров на основе реальных данных, то полученное решение имеет практический смысл.

Существует еще несколько вариантов постановки задачи, решаемой методами математического программирования. Задача о назначенияхимеет следующий смысл. Пусть имеется кандидатов на должностей. Эффект от назначения кандидата на должность оценивается как . Необходимо так назначить кандидатов на должности, чтобы максимизировать общий эффект

.

Очевидно, что один кандидат может быть назначен только на одну должность. Это обстоятельство может быть формализовано в виде ограничений

, .

Поскольку кандидат может быть или назначен, или не назначен на соответствующую должность, имеет место еще одно ограничение . Решение задачи есть квадратная матрица с единичными элементами.

Транспортная задачаоптимизирует перевозки между несколькими пунктами отправки и получения груза. Пусть существует пунктов отправки грузов, в каждом их которых имеется груз . Их надо доставить получателям в объеме . Здесь и номера пунктов отправления и получения груза. Затраты на перевозку груза из пункта в пункт определяются как . Необходимо составить оптимальный план перевозки так, чтобы

.

Если предположить, что все грузы должны быть перевезены, то ограничения задачи имеют вид

.

Решением задачи является матрица размерностью на элементов , каждый из которых имеет смысл объема перевозки из пункта в пункт .

Задача составления смесейвнешне похожа на задачу распределения ресурсов. Смысл задачи – минимизировать затраты на изготовление смеси различных веществ, например, при изготовлении бетона, так, чтобы при этом гарантировать наличие в смеси определенных составляющих, например, цемента, в заданном количестве. Тогда выражение для целевой функции имеет вид

.

Выражения для ограничений приобретают вид

Здесь первое неравенство задает общий объем смеси, а выполнение остальных гарантирует наличие в ней принципиально необходимых компонентов в заданном количестве.

Задача о ранцепредусматривает выбор из имеющегося набора предметов. Предположим, что имеется видов предметов, а ценность каждого определяется коэффициентом . Каждый вид предметов имеет, например, объем . Из общего количества предметов необходимо выбрать такой набор, чтобы максимизировать его ценность

,

при этом общий объем предметов не должен превысить некоторой величины предельного объема

.

Решение задачи позволяет оптимальным способом приблизить отобранный набор к заданному объему обеспечивая максимальную ценность выборки. Отметим, что если количество предметов какого-то вида ограничено, то это обстоятельство можно учесть, добавив в задачу ограничение вида .

Задание

Придумайте собственную задачу разработки управленческого решения, которая может быть решена с использованием методов математического программирования. Используйте одну из возможных ее постановок – задача распределения ресурсов, задача о назначениях и т.п. Обеспечьте задание реальных (на основе справочных данных, или данных, полученных в результате проведения дополнительных специальных исследований) значений неконтролируемых параметров и . Задайтесь значениями ограничений .