Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Системы счисления.

Числа → Цифры → Алфавит →Язык→Знаковая система

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Под системой счисления понимается совокупность способов изображения чисел с помощью ограниченного набора символов (цифр), имеющих определенное количественное значение.

Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Например, в известной римской системе, использующей набор символов I, V, X, L, С, В,..., десятичное число 38 представляется ХХХVIII=10+10+10+5+1+1+1.

Следовательно, количественное значение числа определяется суммой значений символов. Однако значение символа зависит от его места по отношению к другому символу, т.е. значение символа неоднозначно. Так число 99 в римской системе изображается ХС1Х. Символ Х на любом месте равен 10, но в сочетании слева от старшего(ХС) Х = -10, в сочетании после младшего (IX) Х = + 10.

В непозиционных системах счисления не представляются дробные и отрицательные числа, действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют правил, поэтому используются только для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Позиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение цифры зависит от ее положения в числе.

Для позиционных систем счисления характерным и определяющим является наличие основания системы, которое показывает, во-первых, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию и во-вторых, какое число различных цифр входит в ограниченный набор, называемый алфавитом системы счисления.

333, 555

При этом основанием системы счисления может быть любое целое число не менее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная и т.д.). В десятичном числе

А₁₀ = 552,25 = 5*10² +2*10⁰ +2*10^-1 +5*10^-2

цифры 5 и 2, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения, при перемещении цифры на следующую позицию ее величина изменяется в 10 раз. Алфавит включает 10 цифр от 0 до 9, т.е. основание системы равно 10.

Правила выполнения основные арифметические операции операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.