Параметри вибірки. Розподіл середніх значень
На експерименті ми отримуємо не генеральні сукупності, параметри яких обговорювалися вище, а вибірки скінченого об'єму . При цьому виникають наступні питання:
1. Як по параметрах вибірки оцінити параметри генеральної сукупності?
2. Яку величину взяти за міру точності результату?
3. Яке співвідношення між довірчими інтервалами і довірчою ймовірністю?
Основні параметри вибірки:
1. Вибіркове середнє - .
2. Дисперсія вибірки - .
Для різних вибірок (серій вимірювань) одного і того ж об'єму n ми будемо отримувати різні значення як , так і
. Усереднивши x по великому (в граничному випадку рівному нескінченності) числу вибірок, ми отримаємо
. Усереднюючи
знайдемо співвідношення :
. Тому для того, щоб виконувалось це співвідношення в знаменнику виразу
повинно стояти не
, як у виразі (2) а
.
Ці результати підказують, що, маючи в розпорядженні одну вибірку, в якості якнайкращого наближення до слід узяти
, а якнайкращою оцінкою
буде
.
Значення - випадкова величина. Узявши
за якнайкращу оцінку вимірюваної величини, ми повинні з'ясувати, як поводиться відхилення величини
від істинного значення, оскільки саме це відхилення, а не розкид окремих вимірювань, визначить похибку остаточного результату експерименту. Теорія і досвід показують, що розкид значень
залежить від числа вимірювань в кожній серії. Чим більше вимірювань в серіях, тим менше виявляється розкид середніх значень, іншими словами, тим точніше середнє значення відповідає істинному. Якщо число вимірювань
скінчене то рівність
уже не буде точною, але і у цьому випадку
є найкращою оцінкою істинного значення х. Позначимо цю знайдену оцінку через
:
Якщо ми провели невелике число вимірювань і знайшли оцінку істинного значення
то нас буде цікавити якість цієї оцінки.
Оскільки величина є випадковою величиною, тому теж потрібно говорити про розподіл величини
, тобто про ймовірність отримати різні значення
. В теорії похибок доведено, що якщо розподіл
єгаусовим,то і розподілоцінки
буде мати таку ж функціональную форму:
Центр цього розподілу, природно, також лежить при , але величина дисперсії
буде іншою і визначатиметься за формулою
.
Дисперсія середнього із результатів вимірювань в
разів менша, ніж дисперсія результату окремого вимірювання,отже
- оцінка для xіст, в
разів краща, ніж будь-який з одиничних вимірів
.
Таким чином, для скінченої вибірки дисперсію середнього значення розраховують за формулою:
.
Цю величину називають середньоквадратичним відхиленням середнього значення, і дана величина може бути прийнята за міру похибки, що міститься в оцінці
. Для більш повного оцінки цієї похибки вводять поняття довірчої ймовірності і довірчого інтервалу, зміст яких розглянемо нижче.