Методы исследования
Системы линейных уравнений общего вида
Напомни, что и называются базисными неизвестными.
Здесь С1 и С2 произвольные константы.
.
Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид
Используя это значение, из первого уравнения выразим через и .
.
Для заметок
Решение, полученное из общего при С1 = С2 =0 называют базисным решением. Если при этом базисные неизвестные неотрицательны, то такое решение называют опорным.
Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и имеют один и тот же ранг, т.е.
то могут представиться две возможности - a) k = n; б) k < n:
а) если k = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель Δ этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;
б) если k < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.
Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1k xk = b1 - a1,k+1 xk+1 -... - a1nxn,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2k xk = b2 - a2,k+1 xk+1 -... - a2nxn,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ar1 x1 + ar2 x2 +... + akk xk = bk – ak,k+1 xk+1 -... – aknxn.
Ее можно решить относительно x1, x2,..., xk, так как определитель этой системы (k-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xk. Таким образом, при k < n имеем бесчисленное множество решений.
Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:
a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (9.1)
... ... ... ... ... ...
am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (9.1) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (9.1) имеет ранг k.
Если k = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (8.1); при k < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.