Лабораторна робота № 11

Загальна схема застосування класичного методу

аналізу перехідних процесів

Намітимо основні етапи класичного методу аналізу перехідних процесів в лінійних інваріантних в часі колах із зосередженими параметрами. Аналіз

1. Аналіз кола до комутації. В результаті цього аналізу визначають струми індуктивностей і напруги ємностей у момент часу, безпосередньо передуючий комутації (t =0).

2. Визначення незалежних початкових умов. Незалежними початковими умовами є струми індуктивностей і напруги ємностей у момент часу (t=0+). Незалежні початкові умови знаходять за допомогою законів комутації або принципу безперервності потокозчеплення і електричного заряду кола.

3. Складання диференціального рівняння кола після комутації (при 0). Диференціальне рівняння кола отримують з системи рівнянь електричної рівноваги кола, складеної будь-яким методом, шляхом виключення всіх невідомих величин, окрім однієї, що є струмом або напругою якої-небудь гілки.

4. Аналіз усталеного процесу в колі після комутації (при t®¥). В результаті аналізу процесу, що установився в колі після комутації, знаходять вимушену складову реакції кола (приватний розв’язок диференціального рівняння кола).

5. Визначення вільної реакції кола. На цьому етапі складають характеристичне рівняння кола, знаходить його кореіні і визначають загальний вигляд вільної реакції кола (загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння, відповідного диференціальному рівнянню кола після комутації).

6. Знаходження загального вигляду реакції кола. Загальний вигляд реакції кола (загальний розв’язок диференціального рівняння кола) знаходять шляхом підсумовування вільної і вимушеної складових реакції кола.

7. Визначення сталих інтегрування. Сталі інтегрування знаходять за залежними початковими умовами (значенням шуканих струмів або напруг і їх m–1 перших похідних в початковий момент часу після комутації). Для визначення залежних початкових умов використовують незалежні початкові умови і рівняння електричної рівноваги кола після комутації.

8. Визначення реакції кола, яка відповідає заданим початковим умовам. Підставляючи постійні інтегрування в загальний розв’язок диференціального рівняння кола після комутації, знаходять приватний розв’язок диференціального рівняння, відповідного заданим початковим умовам, тобто шуканий струм або напруга однієї з гілок при t > 0.

 

2. Завдання для самостійної роботи

1. Досліджувана схема вибирається в відповідності з графом (рис. 10.1). Номер графа, заданий викладачем, взяти з рисунка 10.1. Включені в схему елементи вибираються в відповідності зі своїм варіантом за даними таблиці 10.1.

2. Параметри елементів електричної схеми мають наступні значення:

Rl = (n+m), Ом; R2 = (n+m)103, Ом; R3 = n, Ом; R4 = n ×104, Ом;

R5 = 2(n + m), Ом; L = 10 n/m, мГн; С = пт10 -2, мкФ; Rн = (n + m)103, Ом.

Прийняти m =1, n = номер студента за списком у групі.

В нульову гілку включається джерело напруги U = 10 в, в десяту – навантаження Rн = n×103 Ом, в сьому включається ключ (у вихідному стані ключ розімкнутий). Ключі працюють на замикання. Розглядаються наступні випадки, коли в схемі крім резисторів є:

а) джерело напруги і індуктивність;

б) джерело напруги і ємність.

Орієнтація джерела вибирається самостійно або задається викладачем.

3. Розрахувати напруги і струми всіх елементів схеми після комутації при нульових початкових умовах. Записати закони комутації.

4. Побудувати графік зміни струму індуктивності або напруги на ємності.

5. Розрахувати перехідні коливання струму індуктивності і напруги на ємності.

6. Розрахувати струми і напруги резисторів.

 


 

 

Рисунок 10.2

3. Варіанти індивідуальних завдань

Таблиця 10.1

 

Номер строки   Елементи гілок  
L R5 R2 R3
L L L R4 R4 R1
L L R4 R2 R1
R1 L R4 R1
0 L R5 R2 R3
R3 L R5 R3
L R5   R1
C R4   R2 R1
C C C R2 R2 R3
C C R2 R4 R3
R1 C R5   R2 R3
0 C R5   R4 R1
R3 C R5   R1
C R5 R3
R1 L R4 R1
R1 R1 R1 L L   R2 R1
R3 R1 R3 L L L R2 R3
R1 L R1 R3
R1 R3 L R5   R1
R3 R1 R5 L   R3

Примітка:

Результати розрахунків перевірити за допомогою пакету комп’ютерного модулювання Multisim 8.

4. Порядок оформлення звіту

 

1. Постановка завдання і мета роботи.

2. Хід виконання роботи.

3. Таблиці, графіки, результати розрахунків.

4. Висновки.

5. Контрольні питання

1. Які причини виникнення перехідних коливань у електричних колах?

2. Назвіть закони комутації.

3. Визначте нульові і ненульові початкові умови.

4. Визначте вид власної складової перехідних коливань

5. Визначте порядок розрахунку вимушеної складової перехідного процесу.

6. Визначте порядок розрахунку постійної інтегрування.

7. Напишіть загальна формула розрахунку перехідних коливань.

 

 

АНАЛІЗ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ ЧАСОВИМ МЕТОДОМ

Мета роботи: вивчити часовий метод аналізу перехідних процесів в лінійних електричних колах з зосередженими елементами.

1. Стислі теоретичні відомості

 

1.1 Перехідні та імпульсні характеристики електричних кіл

В основі часового метода аналізу перехідних процесів у лінійних електричних колах лежать поняття імпульсної і перехідної характеристик кола. Імпульсною характеристикою називають реакцію кола на вхідну дію одиничної імпульсної функції (d - функції), яка задається рівнянням

 

 

(1)

 

Позначається імпульсна характеристика h(t) з тим або іншим індексом. Імпульсні характеристики належать до часових характеристик електричних кіл. Їх слід розглядати як нормовані характеристики відповідних реакцій на імпульсні дії. Нормування здійснюється відносно площі імпульсної дії. Якщо остання дорівнює одиниці, то реакція кола кількісно співпадає з відповідною імпульсною характеристикою кола. Якщо ж площа імпульсної дії дорівнює SИ, то пропорційно змінюється і реакція кола, оскільки дані кола – лінійні.

Очевидно, що імпульсна характеристика кола чисельно длрівнює реакції кола на одиничну імпульсну дію. У зв'язку з цим реакція кола на одиничну імпульсну дію і імпульсна характеристика кола часто ототожнюються. При цьому слід мати на увазі, що вони мають різні розмірності і співпадають лише по чисельній величині.

Перехідною характеристикою кола називають реакцію кола на вхідну дію у формі одиничної функції часу, яка задається рівнянням:

 

(2)

 

Позначається перехідна характеристика кола g(t). Причому g(th(t)визначаються за нульових початкових умов в колі*. Чисельно перехідна характеристика дорівнює реакції електричного кола на одиничну ступінчасту дію.______

* Імпульсні і перехідні характеристики кіл відносяться до, так званих, нормованих часових характеристик, оскільки вони розглядаються по відношенню до одиничної площі імпульсної дії або одиничного стрибка.

Перехідні характеристики електричних кіл, як і імпульсні характеристики, належать до нормованих часових характеристик стійких лінійних електричних кіл. При цьому з необмеженим зростанням часу значення перехідної характеристики асимптотично наближаються до деякої кінцевої величини, що характеризує відносну величину реакції електричного кола в режимі постійного струму. У окремих випадках значення цієї межі може дорівнювати нулю.

Залежно від типу реакції і типу дії (струм або напруга) перехідні та імпульсні характеристики можуть бути безрозмірними величинами, або мають розмірність А/В або В/А.

Використання понять перехідної та імпульсної характеристик кола дозволяє звести розрахунок реакції кола від дії неперіодичного сигналу довільної форми до визначення реакції кола на просту дію типу одиничної 1(t) або імпульсної функції d(t), за допомогою яких апроксимується початковий сигнал. При цьому результуюча реакція лінійного кола знаходиться (з використанням принципу накладання) як сума реакцій кола на елементарні дії 1(t) або d(t).

Між перехідною g(t)та імпульсною h(t)характеристиками лінійного пасивного кола існує певний зв'язок. Її можна встановити, якщо представити одиничну імпульсну функцію через граничний перехід різниці двох одиничних функцій величини 1/t, зрушених один відносно одного на час t:

, (3)

 

тобто одинична імпульсна функція дорівнює похідній одиничній функції. Оскільки дане коло передбачається лінійним, то співвідношення (3) зберігається і для імпульсних і перехідних реакцій кола

h(t) = , (4)

 

 

тобто імпульсна характеристика є похідною від перехідної характеристики кола.

Рівняння (4) справедливе для випадку, коли g(0)=0 (нульові початкові умови для кола). Якщо ж g(0) ¹ 0, то представивши g(t)у вигляді g(t) = g1(t)+ g(0)1(t), де g1(0) = 0, отримаємо рівняння зв'язку для цього випадку:

 

h(t) = g¢(t) = g1¢(t) + g(0)d(t). (5)

 

Для знаходження перехідних та імпульсних характеристик кола можна використовувати як класичний, так і операторний методи. Суть класичного методу полягає у визначенні часової реакції кола (у формі напруги або струму в окремих гілках кола) на дію одиничної 1(t) або імпульсної d(t) функції. Зазвичай класичним методом зручно визначати перехідну характеристику g(t), а імпульсну характеристику h(t)знаходити за допомогою рівнянь зв'язку (4), (5) або операторним методом.

Приклад 1. Знайдемо класичним методом перехідну характеристику по напрузі для кола, зображеного на рис. 11.1. Чисельно gu(t)для даного кола співпадає з напругою на ємності при підключенні її у момент t = 0 до джерела напруги U1 = 1 B:

.

 

Закон зміни напруги uc(t) визначається рівнянням: uc =U (1– et/t), де необхідно покласти U = 1 В. Тоді перехідна характеристика по напрузі для кола дорівнює

Рисунок 11.1 gu(t) = 1– et/t.

 

1.2 Визначення реакції електричного кола на вхідну дію

за допомогою інтегралів накладання

 

Встановимо співвідношення, за допомогою яких за нульових початкових умов знаходиться реакція електричного кола на задану дію. При цьому в тих випадках, коли відома імпульсна характеристика, реакція кола може бути визначена за допомогою інтегралів накладення. Якщо відома передавальна характеристика кола, реакція визначається через інтеграли Дюамеля. Розглянемо можливість використання інтегралів накладення.

Нехай f1(t) і f2(t) – функції, що характеризують відповідно дію, підведену у момент t = 0 за нульових початкових умов до кола і його реакцію. При знаходженні реакції кола f2(t) за допомогою інтеграла накладання використовується імпульсна характеристика кола h(t). Для отримання загального виразу інтеграла накладання апроксимуємо вхідний сигнал f1(t) за допомогою системи одиничних імпульсів тривалості dt, амплітуди f1(t) і площі f1(t)dt(рис. 11.2).

 

Рисунок 11.2

 

Вихідна реакція кола на кожен з одиничних імпульсів

 

df2(t) = f1(t) h(t–t)dt. (6)

 

Використовуючи принцип накладання, неважко отримати сумарну реакцію кола на систему одиничних імпульсів:

(7)

 

Інтеграл (7) носить назву інтеграла накладання. Між інтегралами накладання і Дюамеля існує простий зв'язок, визначуваний зв'язком (5) між імпульсною h(t)і перехідною g(t) характеристиками кола. Підставивши, наприклад, значення h(t)із (5) у формулу (7) з урахуванням фільтруючої властивості d - функції, отримаємо інтеграл Дюамеля.

 

Приклад 2.На вхід RС - кола(див. рис. 11.1) подається стрибок напруги f1(t) = U1. Визначити реакцію кола на виході з використанням інтеграла накладання (7).

Імпульсна характеристика даного кола дорівнює: hu(t) = 1/RCet/RC. Тоді, підстав-ляючи hu(t – t) = 1/RCe –(t-t)/RC у формулу (7), отримуємо:

Якщо початок дії не співпадає з початком відліку часу, то інтеграл (7) приймає вигляд

(8)

Інтеграли накладання (7) і (8) є згортка вхідного сигналу з імпульсною характеристикою кола і широко застосовуються в теорії електричних кіл і теорії передачі сигналів. Її фізичний сенс полягає в тому, що вхідний сигнал f1(t) нібито зважується за допомогою функції h(t – t): чим повільніше убуває з часом h(t), тимбільший вплив на вихідний сигнал надає більш віддалені від моменту спостереження значення вхідної дії.

Рисунок 11.3 Рисунок 11.4

 

На рис. 11.3, показаний сигнал f1(t) та імпульсна характеристика h(t–t), що є дзеркальним відображенням h(t), а на рис. 11.4 приведена згортка сигналу f1(t) з функцією h(t–t) (заштрихована частина), яка чисельно дорівнює реакції кола в момент t.

Із рисунків 11.3 і 11.4 видно, що відгук на виході кола не може бути коротшим за сумарну тривалість сигналу t1і імпульсної характеристики th. Таким чином, для того, щоб вихідний сигнал не спотворювався імпульсна характеристика кола повинна прагнути до d - функції.

Очевидно також, що в колі, що фізично реалізовується, реакція не може виникнути раніше дії. А це означає, що імпульсна характеристика кола повинна задовольняти умові

h(t) = 0 при t < 0. (9)

 

Для стійкого кола, що фізично реалізовується, крім того повинна виконуватися умова абсолютної інтегрованості імпульсної характеристики:

 

(10)

 

Якщо вхідна дія має складну форму або задається графічно, то для обчислення реакції кола замість інтеграла згортки (7) застосовують графоаналітичний метод.

 

2. Завдання для самостійної роботи

1. Досліджувана схема вибирається у відповідності з графом (рис. 11.3). Номер графа задається викладачем і відповідає номеру групи на потоці. Включені в схему елементи вибираються в відповідності зі своїм варіантом за даними таблиці 11.1.

2. Параметри елементів електричної схеми мають наступні значення:

Rl = (n + m), Ом; R2 = (n + m)× 103, Ом; R3 = n, Ом; R4 = n ×104, Ом;

R5 = 2(n + m), Ом; L =10 n/m, мГн; С = пт10 -2, мкФ; Rн = (n + m)103, Ом.

Прийняти m =1, n = номер студента за списком у групі.

У нульову гілку включається джерело, а в десяту – навантаження.

3. Знайти перехідну gu(t) та імпульсну hu(t) характеристики електричного кола і накреслити їх графіки.

4. Використовуючи знайдені перехідну та імпульсну характеристики, знайти реакцію кола на імпульс трапецієподібної форми (рис. 11.4) за допомогою інтеграла накладання. Максимальне значення напруги дії дорівнює (m + n) /4 В, t1 = 0,25t, t2 = 0.5t, t3 =t, де t – постійна часу досліджуваного кола, яка чисельно дорівнює модулю зворотної величини полюса передавальної функції.

 

Рисунок 11.5 Рисунок 11.6 3. Варіанти індивідуальних завдань

 

Таблиця 11.1

 

 

Номер строки   Елементи гілок  
L R5 R1 R2 R3
L L L R4 R3 R4 R1
L L R4 R1 R2 R1
R1 L R1 R4 R1
0 L R5 R1 R2 R3
R3 L R5 R1 R3
L R5 R3 R1
C R4 R3 R2 R1
C C C R2 R1 R2 R3
C C R2 R1 R4 R3
R1 C R5 R3 R2 R3
0 C R5 R3 R4 R1
R3 C R5 R3 R1
C R5 R1 R3
R1 L R2 R4 R1
R1 R1 R1 L L R3 R2 R1
R3 R1 R3 L L L R1 R2 R3
R1 L R1 R1 R3
R1 R3 L R5 R3 R1
R3 R1 R5 L R1 R3

Примітка:

Результати розрахунків перевірити за допомогою пакету комп’ютерного модулювання Multisim 8.

4. Порядок оформлення звіту

 

1. Постановка завдання і мета роботи.

2. Хід виконання роботи.

3. Таблиці, графіки, результати розрахунків.

4. Висновки.

5. Контрольні питання

1. Які причини виникнення перехідних коливань у електричних колах?

3. Визначте одиничну імпульсну функцію (d-функція, функція Дірака).

4. Визначте імпульсну характеристику електричного кола.

5. Визначте зв’язок між імпульсною характеристикою кола і операторною передавальною функцією.

6. Визначте поняття перехідної характеристики електричного кола.

7. Визначте зв’язок між імпульсними і перехідними функціями.