Лабораторна робота № 10
ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В ЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ
Мета роботи: вивчити класичний метод аналізу перехідних процесів в лінійних електричних колах з одним реактивним елементом.
1. Стислі теоретичні відомості
1.1 Перехідний режим електричних кіл. Закони комутацій
У попередніх лабораторних роботах вивчалися лінійні електричні кола в усталеному режимі, тобто в режимі, при якому напруги і струми в колах або не залежать від часу, або є періодичними функціями часу залежно від прикладеної дії
s(t) = s(t + T), "t.
Усталений режим в колі досягається зазвичай через певний проміжок часу після початку дії, тому розглянуті раніше методи, аналізу не охоплюють так званий перехідний режим від початку дії до усталеного стану кола.
Перехідний режим роботи кола обумовлений наявністю в ньому реактивних елементів (індуктивності, ємності), в яких накопичується енергія магнітного і електричного полів. При різного роду діях (підключення до кола або виключення джерел електричної енергії, зміні параметрів кола) змінюється енергетичний режим роботи кола, причому ці зміни не можуть здійснюватися миттєво через безперервність зміни енергії електричного і магнітного полів (принцип безперервності), що і приводить до виникнення перехідних процесів. Слід підкреслити, що перехідні процеси в багатьох пристроях і системах зв'язку є складовою «нормальною» частиною режиму їх роботи. У той же час у ряді випадків перехідні процеси можуть приводити до таких небажаних явищ, як виникнення надструмів і перенапружень. Все це визначає важливість розгляду методів аналізу перехідних процесів в електричних колах.
У основі методів розрахунку перехідних процесів лежать закони комутації. Комутацією прийнято називати будь-яку зміну параметрів кола, його конфігурації, підключення або відключення джерел, що приводить до виникнення перехідних процесів. Комутацію вважатимемо миттєвою, проте перехідний процес, як було відмічено вище, протікатиме певний час. Теоретично для завершення перехідного процесу потрібний нескінченно довгий час, але на практиці його приймають кінцевим, залежним від параметрів кола. Вважатимемо, що комутація здійснюється за допомогою ідеального ключа К (рис. 10.1), опір якого в розімкненому стані нескінченно великий, а в замкнутому дорівнює нулю. Напрям замикання або розмикання ключа показаний стрілкою. Також вважатимемо, якщо не обумовлене інше, що комутація здійснюється у момент t = 0. 
Розрізняють перший і другий закони комутації.
Перший закон комутації пов'язаний з безперервністю зміни магнітного поля котушки Рисунок 10.1 індуктивності WL= Li2/2 і свідчить: у початковий момент t = 0+безпосередньо після комутації струм в індуктивності має те ж саме значення, що і у момент t = 0– до комутації і з цієї миті плавно змінюється
iL(0–) = iL(0+) (1)
Другий закон комутації пов'язаний з безперервністю зміни електричного поля ємності Wc = Cu2/2; у початковий момент t = 0+ безпосередньо після комутації напруга на ємності має те ж саме значення, що і у момент t=0– до комутації і з цієї миті плавно змінюється:
uC(0–) = uC(0+) (2)
На відміну від струму в індуктивності iL і напруги на ємності иС напруга на індуктивності uL і струм в ємності iС можуть змінюватися стрибком, оскільки згідно з виразами
і 
вони є похідними від iL і uC і з ними безпосередньо не пов'язана енергія магнітного і електричного полів. Значення струмів в індуктивності iL(0+) і напруг на ємностях uC(0+) утворюють початкові умови задачі.
Залежно від початкового енергетичного стану кола розрізняють два типи задач розрахунку перехідних процесів: задачі з нульовими початковими умовами, коли безпосередньо після комутації (при t =0+ iL(0+)= 0; uc(0+) = 0 (тобто WL(0+) + WC(0+) =0) і задачі з ненульовими початковими умовами, коли iL(0+) ¹ 0 и uC(0+) ¹ 0 (тобто WL(0+) + WC(0+) ¹0). Нульові і ненульові значення початкових умов для iL і иС називаються незалежними, а початкові умови решти струмів і напруг залежними. Незалежні початкові умови визначаються за допомогою (1) і (2) законів комутації .
1.2 Класичний метод розрахунку перехідних процесів
У основі класичного методу розрахунку перехідних процесів в електричних колах лежить складання інтегрально-диференціальних рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. Ці рівняння складаються на основі законів Кірхгофа, методів контурних струмів, вузлових напруг і можуть містити як незалежні, так і залежні змінні. Для зручності розв’язання зазвичай прийнято складати диференціальні рівняння щодо незалежної змінної, якою може служити iL або ис. Розв’язання отриманих диференціальних рівнянь щодо вибраної змінної і складає суть класичного методу.
Враховуючи, що у ряді випадків розв’язання диференціальних рівнянь простіше інтегрально-диференціальних, отриману систему зводять до одного диференціального рівняння відповідного порядку щодо вибраної незалежної змінної iL або ис. Порядок диференціального рівняння визначається кількістю незалежних накопичувачів енергії електричного і магнітного полів, тобто реактивними елементами кола.
Позначимо незалежну змінну (iL або ис) через x = x(t).
Диференціальне рівняння m-го порядку, що описує перехідний процес в електричному колі, що знаходиться під впливом джерела w(t), описується рівнянням:
(3)
де b0, b1,…, bm-1, bm – коефіцієнти параметрів кола; w{t) – функція, що описує характер дії на коло.
Коло, параметри якого b0, b1,…, bm-1, bm – незмінні, називають колом з постійними параметрами. Якщо ж який-небудь з коефіцієнтів b0,b1,…, bm-1, bm – змінюється, то коло називають параметричним. Надалі розглядатимемо кола з постійними параметрами.
Диференціальне рівняння (3) відноситься до лінійних неоднорідних рівнянь m-го порядку. Як відомо, його рішення знаходиться як сума загального розв’язку хв(t) однорідного диференціального рівняння m-го порядку (вільна складова):
(4)
і приватного розв’язку хвим(t) рівняння (3) (вимушена складова):
х(t) = хв(t) + хвим(t). (5)
Загальний розв’язок хв(t) визначає вільні процеси, які протікають в колі без участі джерела w(t) (звідси індекс «в»). Приватний розв’язок хвим(t) визначає вимушений процес (звідси індекс «вим»), який протікає в колі під впливом w(t). У теорії електричних кіл хвим(t) зазвичай знаходять одним з раніше розглянутих методів розрахунку електричних кіл в усталеному режимі.
Вільна складова перехідного процесу хв(t) залежатиме від характеру коренів характеристичного рівняння:
bmpm + bm-1pm-1 +...+b1p + bo =0. (6)
У разі, коли корені р1, р2,..., рт характеристичного рівняння (6) дійсні і різні, розв’язок (4) має вигляд
хсв = 
(7)
де А1, А2,...,Ат – постійні інтегрування, які знаходяться з початкових умов.
У разі, коли корені рівняння (6) дійсні і рівні, тобто р1 =р2 = … =рт = р, вільнаскладова визначається рівнянням
хсв = (А1 + А2t1 + A3t2 +…+ Amt (m-1))e pt. (8)
Представляє практичний інтерес і випадок, коли корені попарно комплексно-спряжені pk,k-1 = –a ± jwc. При цьому у формулі (7) відповідна пара коренів pk,k-1 замінюється складовими вигляду
Aе -at sin(wc+ q), (9)
де А,q– постійні інтегрування, які визначаються також з початкових умов.