Лабораторна робота № 9

ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

Мета роботи: освоїти розрахунок комплексних передавальних та вхідних функцій лінійних електричних кіл при гармонічній зовнішній дії.

1. Стислі теоретичні відомості

1.1 Комплексні передавальні функції лінійних

електричних кіл

Найважливішою характеристикою лінійного електричного кола є комплексна передавальна функція H(jw). При цьому електричне коло зручно зображати у вигляді чотириполюсника (рис. 9.1), на вхідні затиски 1–1' якого подається сигнал у вигляді напруги з комплексною амплітудою або струму з комплексною амплітудою , а реакція знімається з вихідних затисків 2–2' також у вигляді напруги або струму з комплексними амплітудами , . Комплексна передавальна функція (КПФ) визначається як відношення комплексної амплітуди реакції кола до комплексної амплітуди вхідної дії.

Рисунок 9.1

Залежно від типів вхідної дії і реакції кола розрізняють наступні види КПФ:

1. Комплексна передавальна функція за напругою

, (1)

де , , , – комплексні амплітуди і комплексні діючі значення напруги дії на вході і напруги реакції на виході.

2. Комплексна передавальна функція за струмом

, (2)

де – комплексні амплітуди і комплексні діючі значення струму дії і струму реакції.

3. Комплексний передавальний опір

, (3)

4. Комплексна передавальна провідність

. (4)

З даних визначень виходить, що і є безрозмірними величинами, а і – мають відповідно розмірності опору і провідності. Комплексні передавальні функції визначаються на частоті w сигналу дії і залежать тільки від параметрів кола.

1.2 Амплітудно-частотні і фазочастотні характеристики

електричних кіл

Частотні залежності гармонічних коливань в електричних колах обумовлені частотною залежністю співвідношень між амплітудами напруг і струмів в реактивних елементах L і С кола – індуктивностях і ємностях – і співвідношеннями, що відрізняються, між фазами коливань в пасивних елементах R, L і С кола.

Частотна залежність відношення амплітуди (діючого значення) гармонічної реакції в деякій гілці кола до амплітуди (діючого значення) гармонічної дії отримала назву амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) кола, визначеного щодо вказаної гілки кола. Частотна ж залежність різниці фаз гармонічної реакції в деякій гілці кола і гармонічної дії називається фазочастотною характеристикою кола (ФХЧ), визначеного щодо вказаної гілки кола.

Як будь-яку комплексну величину H(jw)можна представити в показовій, тригонометричній і алгебраїчній формі:

H(jw) = | H(jw)| e ^jq(w) = H(w) e ^jq(w), (5)

H(jw) = H(w) cos q(w) +jH(w) sin q(w), (6)

H(jw) = H₁(w) + jH₂(w), (7)

де H(w) =|H(jw)| – модуль комплексної передавальної функції представляє АЧХ кола, а q(w) = argH(jw) – аргумент комплексної передавальної функції представляє ФЧХ кола.

Величини:

H₁(w) = H(w) cos q(w),

H₂(w) = H(w) sin q(w) (8)

є дійсна та уявна частини комплексної передавальної функції кола.

З виразів (5)¸(8) неважко отримати співвідношення, які зв’язують АЧХ і ФЧХ з дійсними та уявними частинами комплексної передавальної функції H₁(w) і H₂(w):

H(w) = ; (9) q(w) = arctg (10)

Амплітудно-частотна характеристика кола може бути частотною залежністю деякої або безрозмірної величини у разі, коли зіставляються коливання однакової фізичної природи (напруга з напругою або струм зі струмом), або величини, що має розмірність опору або провідності. Фазочастотна характеристика кола завжди є частотною залежністю безрозмірної величини, тому що цією величиною є різниця фаз двох гармонічних коливань безвідносно до їх фізичної природи. Частотні характеристики електричних кіл не залежать від значень амплітуд і початкових фаз прикладених до кола дій, а визначаються власними даними кола: кількістю, характером, значеннями, порядком з'єднання один з одним її елементів. Іншими словами, частотні характеристики електричного кола описують власне коло.

АЧХ і ФЧХ є найбільш фундаментальними поняттями теорії кіл і широко використовуються на практиці. Важливість цих характеристик для систем електричного зв'язку, радіомовлення і телебачення пояснюється самою природою передачі сигналів певного спектрального складу по каналах зв'язку. Вимоги до АЧХ і ФЧХ різних пристроїв є визначальними при проектуванні будь-якої апаратури зв'язку, оскільки від ступеня їх виконання багато в чому залежить якість передачі інформації.

При графічному зображенні частотних характеристик того або іншого електричного кола, зазвичай, будують окремі графіки його амплітудно-частотної і фазочастотної характеристик. Часто амплітудно-частотну і фазочастотну характеристики кола представляють одним графіком. Подібна можливість заснована на тому, що кожному значенню частоти відповідає певне значення H(jw) у вигляді деякого комплексного числа. На комплексній площині цьому комплексному числу відповідає певна точка площини, або, що те ж саме, вектор, що сполучає початок координат площини з вказаною точкою площини (рис. 9.2). Зі зміною w кінець вказаного радіус-вектора, описує на комплексній площині деяку криву, яку називають частотним годографом комплексної передавальної функції H(jw), або просто годографом H(jw). Годограф – це графічне представлення H(jw) на комплексній площині, тому його часто називають годографом амплитудно-фазової характеристики кола. Будують годограф Рисунок 9.2 звичайно для зміни частоти від w = 0 до w ® ∞.

По годографу H(jw) можна одночасно судити про амплітудно-частотну і фазочастотну характеристики кола. Дійсно, кожній точці годографа відповідають певне значення частоти, певна довжина вектора, що сполучає початок координат з цією точкою, і певний кут (q)w. Довжина вектора пропорційна значенню амплітудно-частотної характеристики кола при вказаній частоті, а кут дорівнює значенню фазочастотної характеристики кола при тій же частоті.

У ряді випадків частотні характеристики кола можуть змінюватися в дуже широких межах, тому зручніше їх оцінювати в логарифмічному масштабі. З цією метою для оцінки АЧХ вводять поняття логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАХ):

K = 20 lg H(w). (11)

Оцінюється ЛАХ згідно (11) в децибелах (дБ). У активних колах К називають ще логарифмічним посиленням. Для пасивних кіл замість коефіцієнта посилення оперують ослабленням кола:

A = 20 lg [1/H(w)] , (12)

яке також оцінюється в децибелах.

Разом з передавальними функціями (1)¸(4) у ряді випадків знаходять застосування комплексні функції, що визначаються відношенням комплексної реакції до комплексної дії на вхідних затисках електричного кола

Z_вх(jw) = Y_вх(jw) = (13)

Функції вигляду (13) носять назву комплексних вхідних функцій кіл.

2. Завдання для самостійної роботи

1. Досліджувана схема вибирається у відповідності з графом (рис. 9.3). Номер графа задається викладачем і відповідає номеру групи на потоці. Включені в схему елементи вибираються в відповідності зі своїм варіантом за даними таблиці 9.1.

2. Параметри елементів електричної схеми мають наступні значення:

R_l = (n + m), Ом; R₂ = (n + m)× 10³, Ом; R₃ = n, Ом; R₄ = n ×10⁴, Ом;

R₅ = 2(n + m), Ом; L =10 n/m, мГн; С = пт10 ^-2, мкФ; R_н = (n + m)10³, Ом.

Прийняти m =1, n = номер студента за списком у групі.

У нульову гілку включається джерело , а в десяту – навантаження.

3. Знайти комплексний вхідний опір и комплексну вхідну провідність кола відносно затисків джерела. Розрахувати їх не менш ніж на десяти частотах, включаючи 0 і ∞.

4. Накреслити приблизний графік АЧХ U₂/U₁.

5. Знайти комплексну передавальну функцію за напругою ,АЧХ і ФЧХ. Розрахувати їх на десяти частотах, включаючи 0 і ∞. Перевірити співпадання характеру якісно и точно побудованої АЧХ.

6. Для вибраної схеми виконати дослідження залежності АЧХ і ФЧХ від зміни параметрів елементів. Дослідження провести спочатку якісно, а потім виконуючі відповідні розрахунки.

Рисунок 9.3

3. Варіанти індивідуальних завдань

Таблиця 9.1

Примітка:

Результати розрахунків перевірити за допомогою пакету комп’ютерного модулювання Multisim 8.

4. Порядок оформлення звіту

1. Постановка завдання і мета роботи.

2. Хід виконання роботи.

3. Таблиці, графіки, результати розрахунків.

4. Висновки.

5. Контрольні питання

1. Сформулюйте визначення амплітудно-частотної і фазочастотної характеристик електричного кола.

2. Назвіть чинники, що визначають фундаментальність понять АЧХ і ФЧХ електричних кіл.

3. Що таке комплексні передавальні функції?

4. Що таке комплексні вхідні функції?

5. Що таке годограф комплексних функцій?